Дано распределение случайной величины X: Значения -2 2 3 Вероятность 0.3 0.5 0.2

Чтобы решить задачу на тему случайной величины \( X \) с заданными значениями и вероятностями, начнем с описания распределения.

Данные:

• Значения \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = 3 \)
• Вероятности \( P(X = -2) = 0.3 \), \( P(X = 2) = 0.5 \), \( P(X = 3) = 0.2 \)

Обратите внимание, что вероятности должны суммироваться в 1. Проверим это: \[ P(X = -2) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.3 + 0.5 + 0.2 = 1.0 \] Сумма равна 1, значит, распределение корректно.

Теперь мы можем рассчитать математическое ожидание \( E(X) \) и дисперсию \( D(X) \) случайной величины \( X \).

Шаг 1: Математическое ожидание \( E(X) \)

Математическое ожидание вычисляется по формуле: \[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(X = x_i)) \] Где \( x_i \) — значения случайной величины, а \( P(X = x_i) \) — соответствующие вероятности.

Подставим наши значения: \[ E(X) = (-2) \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.2 \] Теперь вычислим: \[ E(X) = -0.6 + 1 + 0.6 = 1 \] Итак, математическое ожидание \( E(X) = 1 \).

Шаг 2: Дисперсия \( D(X) \)

Дисперсия вычисляется с помощью формулы: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала найдем \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(X = x_i)) \] Подставим наши значения: \[ E(X^2) = (-2)^2 \cdot 0.3 + (2)^2 \cdot 0.5 + (3)^2 \cdot 0.2 \] Вычислим каждое слагаемое: \[ E(X^2) = 4 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.5 + 9 \cdot 0.2 \] \[ E(X^2) = 1.2 + 2 + 1.8 = 5 \]

Теперь можем найти дисперсию: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 5 - (1)^2 = 5 - 1 = 4 \]

Ответ

• Математическое ожидание \( E(X) = 1 \)
• Дисперсия \( D(X) = 4 \)

Таким образом, мы проанализировали заданное распределение случайной величины \( X \), рассчитали математическое ожидание и дисперсию.