Чтобы решить задачу на тему случайной величины ( X ) с заданными значениями и вероятностями, начнем с описания распределения.
Данные:
- Значения ( x_1 = -2 ), ( x_2 = 2 ), ( x_3 = 3 )
- Вероятности ( P(X = -2) = 0.3 ), ( P(X = 2) = 0.5 ), ( P(X = 3) = 0.2 )
Обратите внимание, что вероятности должны суммироваться в 1. Проверим это:
[
P(X = -2) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.3 + 0.5 + 0.2 = 1.0
]
Сумма равна 1, значит, распределение корректно.
Теперь мы можем рассчитать математическое ожидание ( E(X) ) и дисперсию ( D(X) ) случайной величины ( X ).
Шаг 1: Математическое ожидание ( E(X) )
Математическое ожидание вычисляется по формуле:
[
E(X) = \sum (x_i \cdot P(X = x_i))
]
Где ( x_i ) — значения случайной величины, а ( P(X = x_i) ) — соответствующие вероятности.
Подставим наши значения:
[
E(X) = (-2) \cdot 0.3 + 2 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.2
]
Теперь вычислим:
[
E(X) = -0.6 + 1 + 0.6 = 1
]
Итак, математическое ожидание ( E(X) = 1 ).
Шаг 2: Дисперсия ( D(X) )
Дисперсия вычисляется с помощью формулы:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала найдем ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(X = x_i))
]
Подставим наши значения:
[
E(X^2) = (-2)^2 \cdot 0.3 + (2)^2 \cdot 0.5 + (3)^2 \cdot 0.2
]
Вычислим каждое слагаемое:
[
E(X^2) = 4 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.5 + 9 \cdot 0.2
]
[
E(X^2) = 1.2 + 2 + 1.8 = 5
]
Теперь можем найти дисперсию:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 5 - (1)^2 = 5 - 1 = 4
]
Ответ
- Математическое ожидание ( E(X) = 1 )
- Дисперсия ( D(X) = 4 )
Таким образом, мы проанализировали заданное распределение случайной величины ( X ), рассчитали математическое ожидание и дисперсию.
