Реши
Для решения систем уравнений приступим к обеим системам поочередно.
Задача 10
Система уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 37 \\ xy = 6 \end{cases} \]
Используем выражение для произведения: Из второго уравнения \(xy = 6\) найдем выражение, содержащее \((x+y)\) и \(xy\).
Преобразуем первое уравнение: Первое уравнение можно записать как: \[ (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 37 + 12 = 49 \] следовательно, \[ x+y = \pm\sqrt{49} = \pm 7 \]
Решение системы:
Если \(x+y = 7\) и \(xy = 6\), получаем квадратное уравнение: \[ t^2 - 7t + 6 = 0 \]
Найдем корни: \[ t = \frac{7 \pm \sqrt{(7)^2-4\cdot1\cdot6}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2} \]
Корни: \(t_1 = 6\), \(t_2 = 1\)
Если \(x+y = -7\), решение аналогично: \[ t^2 + 7t + 6 = 0 \]
Корни: \(t_1 = -6\), \(t_2 = -1\)
Решения:
- \(x = 6, y = 1\) или \(x = 1, y = 6\)
- \(x = -6, y = -1\) или \(x = -1, y = -6\)
Задача 13
Система уравнений: \[ \begin{cases} 2xy = 5 \\ 2x + y = 6 \end{cases} \]
Выразим одно из переменных: Из второго уравнения выразим \(y\): \[ y = 6 - 2x \]
Подставим в первое уравнение: \[ 2x(6 - 2x) = 5 \] \[ 12x - 4x^2 = 5 \] \[ 4x^2 - 12x + 5 = 0 \]
Решение квадратного уравнения:
- Найдем дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64 \]
- Найдем корни: \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 \pm 8}{8} \]
- Корни: \(x_1 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}\), \(x_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)
Найдем \(y\):
- Для \(x = \frac{5}{2}\): \[ y = 6 - 2 \cdot \frac{5}{2} = 6 - 5 = 1 \]
- Для \(x = \frac{1}{2}\): \[ y = 6 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 6 - 1 = 5 \]
Решения:
- \(x = \frac{5}{2}, y = 1\)
- \(x = \frac{1}{2}, y = 5\)
Таким образом, мы нашли решения для обеих систем уравнений.
