Реши

Для решения систем уравнений приступим к обеим системам поочередно. ### Задача 10 1. **Система уравнений:** \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 37 \\ xy = 6 \end{cases} \] 2. **Используем выражение для произведения:** Из второго уравнения \(xy = 6\) найдем выражение, содержащее \((x+y)\) и \(xy\). 3. **Преобразуем первое уравнение:** Первое уравнение можно записать как: \[ (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 37 + 12 = 49 \] следовательно, \[ x+y = \pm\sqrt{49} = \pm 7 \] 4. **Решение системы:** - Если \(x+y = 7\) и \(xy = 6\), получаем квадратное уравнение: \[ t^2 - 7t + 6 = 0 \] - Найдем корни: \[ t = \frac{7 \pm \sqrt{(7)^2-4\cdot1\cdot6}}{2} = \frac{7 \pm 5}{2} \] - Корни: \(t_1 = 6\), \(t_2 = 1\) - Если \(x+y = -7\), решение аналогично: \[ t^2 + 7t + 6 = 0 \] - Корни: \(t_1 = -6\), \(t_2 = -1\) **Решения:** - \(x = 6, y = 1\) или \(x = 1, y = 6\) - \(x = -6, y = -1\) или \(x = -1, y = -6\) ### Задача 13 1. **Система уравнений:** \[ \begin{cases} 2xy = 5 \\ 2x + y = 6 \end{cases} \] 2. **Выразим одно из переменных:** Из второго уравнения выразим \(y\): \[ y = 6 - 2x \] 3. **Подставим в первое уравнение:** \[ 2x(6 - 2x) = 5 \] \[ 12x - 4x^2 = 5 \] \[ 4x^2 - 12x + 5 = 0 \] 4. **Решение квадратного уравнения:** - Найдем дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64 \] - Найдем корни: \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{12 \pm 8}{8} \] - Корни: \(x_1 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}\), \(x_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\) 5. **Найдем \(y\):** - Для \(x = \frac{5}{2}\): \[ y = 6 - 2 \cdot \frac{5}{2} = 6 - 5 = 1 \] - Для \(x = \frac{1}{2}\): \[ y = 6 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 6 - 1 = 5 \] **Решения:** - \(x = \frac{5}{2}, y = 1\) - \(x = \frac{1}{2}, y = 5\) Таким образом, мы нашли решения для обеих систем уравнений.