Давайте решим задачу шаг за шагом.
У нас есть два условия:
- Сумма двух чисел равна 8.
- Сумма их квадратов равна 34.
Обозначим два числа как ( x ) и ( y ).
Согласно первому условию, мы можем записать уравнение:
[
x + y = 8 \quad (1)
]
Согласно второму условию, у нас есть:
[
x^2 + y^2 = 34 \quad (2)
]
Теперь можем использовать первое уравнение (1), чтобы выразить одно число через другое. Например, выразим ( y ):
[
y = 8 - x
]
Теперь подставим это выражение для ( y ) во втором уравнении (2):
[
x^2 + (8 - x)^2 = 34
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + (64 - 16x + x^2) = 34
]
Соберем все члены в одном уравнении:
[
2x^2 - 16x + 64 = 34
]
Переносим 34 в левую часть:
[
2x^2 - 16x + 30 = 0
]
Упростим уравнение, поделив на 2:
[
x^2 - 8x + 15 = 0
]
Теперь можно решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант для поиска корней.
В данном уравнении:
( a = 1 ), ( b = -8 ), ( c = 15 ).
Посчитаем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4
]
Теперь найдем корни уравнения по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 2}{2}
]
Теперь посчитаем два возможных значения для ( x ):
- ( x_1 = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 )
- ( x_2 = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 )
Теперь у нас есть два значения для ( x ): ( x = 5 ) или ( x = 3 ).
Теперь найдем соответствующие значения для ( y ), используя уравнение (1):
- Если ( x = 5 ), тогда ( y = 8 - 5 = 3 ).
- Если ( x = 3 ), тогда ( y = 8 - 3 = 5 ).
Таким образом, два числа, которые мы искали, это 5 и 3.
Ответ:
Числа: 5 и 3.
