Сумма двух чисел равна 8, а сумма их квадратов равна 34. Найдите эти числа.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
У нас есть два условия:
- Сумма двух чисел равна 8.
- Сумма их квадратов равна 34.
Обозначим два числа как \( x \) и \( y \).
Согласно первому условию, мы можем записать уравнение: \[ x + y = 8 \quad (1) \]
Согласно второму условию, у нас есть: \[ x^2 + y^2 = 34 \quad (2) \]
Теперь можем использовать первое уравнение (1), чтобы выразить одно число через другое. Например, выразим \( y \): \[ y = 8 - x \]
Теперь подставим это выражение для \( y \) во втором уравнении (2): \[ x^2 + (8 - x)^2 = 34 \]
Раскроем скобки: \[ x^2 + (64 - 16x + x^2) = 34 \]
Соберем все члены в одном уравнении: \[ 2x^2 - 16x + 64 = 34 \]
Переносим 34 в левую часть: \[ 2x^2 - 16x + 30 = 0 \]
Упростим уравнение, поделив на 2: \[ x^2 - 8x + 15 = 0 \]
Теперь можно решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант для поиска корней.
В данном уравнении: \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = 15 \).
Посчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]
Теперь найдем корни уравнения по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 2}{2} \]
Теперь посчитаем два возможных значения для \( x \):
- \( x_1 = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
- \( x_2 = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
Теперь у нас есть два значения для \( x \): \( x = 5 \) или \( x = 3 \).
Теперь найдем соответствующие значения для \( y \), используя уравнение (1):
- Если \( x = 5 \), тогда \( y = 8 - 5 = 3 \).
- Если \( x = 3 \), тогда \( y = 8 - 3 = 5 \).
Таким образом, два числа, которые мы искали, это 5 и 3.
Ответ: Числа: 5 и 3.
