Для решения данной задачи давайте вспомним, что в прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°, и один из углов всегда равен 90°. В нашем случае, один из острых углов равен 30°. Значит, другой острый угол будет равен:
[
90° - 30° = 60°
]
Теперь нам нужно найти синус и тангенс угла 60°.
Шаг 1: Находим синус 60°
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике можно определить с помощью отношения длины противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла 60° у нас есть известные значения:
- Синус 60° равен ( \frac{\sqrt{3}}{2} ).
Таким образом, если мы обозначим гипотенузу через ( h ), тогда:
[
\sin(60°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{15}{h}
]
Подставляем значение синуса:
[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{h}
]
Теперь решим уравнение для ( h ):
[
h = \frac{15 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \text{ см}
]
Шаг 2: Находим тангенс 60°
Тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В нашем треугольнике противолежащий катет углу 60° равен 15 см, а прилежащий катет можно найти, зная гипотенузу.
Сначала, найдём прилежащий катет через косинус угла 60°:
[
\cos(60°) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}
]
Значение косинуса 60° равно ( \frac{1}{2} ):
[
\frac{1}{2} = \frac{a}{10\sqrt{3}}
]
где ( a ) - прилежащий катет. Теперь решим уравнение:
[
a = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см}
]
Теперь можем найти тангенс угла 60°:
[
\tan(60°) = \frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}
]
Ответы
- Синус угла 60°: ( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} )
- Тангенс угла 60°: ( \tan(60°) = \sqrt{3} )
Таким образом, мы нашли значения синуса и тангенса другого острого угла треугольника.
