в прямоугольном треугольнике катет лежащий напротив угла в 30° равен 15 см найдите синус и тангенс другого острого угла этого треугольника

Для решения данной задачи давайте вспомним, что в прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°, и один из углов всегда равен 90°. В нашем случае, один из острых углов равен 30°. Значит, другой острый угол будет равен:

\[ 90° - 30° = 60° \]

Теперь нам нужно найти синус и тангенс угла 60°.

Шаг 1: Находим синус 60°

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике можно определить с помощью отношения длины противолежащего катета к гипотенузе.

Для угла 60° у нас есть известные значения:

• Синус 60° равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Таким образом, если мы обозначим гипотенузу через \( h \), тогда:

\[ \sin(60°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{15}{h} \]

Подставляем значение синуса:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15}{h} \]

Теперь решим уравнение для \( h \):

\[ h = \frac{15 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \text{ см} \]

Шаг 2: Находим тангенс 60°

Тангенс угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. В нашем треугольнике противолежащий катет углу 60° равен 15 см, а прилежащий катет можно найти, зная гипотенузу.

Сначала, найдём прилежащий катет через косинус угла 60°:

\[ \cos(60°) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

Значение косинуса 60° равно \( \frac{1}{2} \):

\[ \frac{1}{2} = \frac{a}{10\sqrt{3}} \]

где \( a \) - прилежащий катет. Теперь решим уравнение:

\[ a = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 5\sqrt{3} \text{ см} \]

Теперь можем найти тангенс угла 60°:

\[ \tan(60°) = \frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]

Ответы

• Синус угла 60°: \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• Тангенс угла 60°: \( \tan(60°) = \sqrt{3} \)

Таким образом, мы нашли значения синуса и тангенса другого острого угла треугольника.