Реши x • log4 (5 - 3x - x^2) ≥ 0 с помощью рационализации

Решим неравенство \( x \cdot \log_4(5 - 3x - x^2) \geq 0 \) с помощью рационализации.

1. Анализ неравенства: Для того чтобы произведение было неотрицательным, необходимо, чтобы оба множителя были положительными или оба были отрицательными.

2. Определение области определения: Мы должны убедиться, что аргумент логарифма положителен: \[ 5 - 3x - x^2 > 0 \] Это неравенство можно привести к стандартному виду: \[ -x^2 - 3x + 5 > 0 \implies x^2 + 3x - 5 < 0 \]

   Решим это квадратное неравенство: Находим корни уравнения \( x^2 + 3x - 5 = 0 \) с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{2} \] Обозначим корни: \[ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{2} \]

   Поскольку парабола направлена вверх (коэффициент при \(x^2\) положительный), неравенство \(x^2 + 3x - 5 < 0\) выполняется между корнями: \[ x_1 < x < x_2 \]

3. Анализ двух случаев:

   1. Случай 1: \( x \geq 0 \)
      • В этом случае логарифм \( \log_4(5 - 3x - x^2) \) должен быть неотрицателен, т.е. \( 5 - 3x - x^2 \geq 1 \): \[ 5 - 3x - x^2 \geq 1 \implies -x^2 - 3x + 4 \geq 0 \implies x^2 + 3x - 4 \leq 0 \] Решаем \( x^2 + 3x - 4 = 0 \): \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \] Получаем корни: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -4 \] Таким образом, \( -4 \leq x \leq 1 \).

   Но поскольку здесь мы рассматриваем только \( x \geq 0 \): \[ 0 \leq x \leq 1 \]

   2. Случай 2: \( x < 0 \)
      • Тогда \( x \) и \( \log_4(5 - 3x - x^2) \) будут отрицательными. Следовательно, значение \( \log_4(5 - 3x - x^2) \) должно быть отрицательным.
      • Так как \( 5 - 3x - x^2 \) в этом случае остается положительным вплоть до корней, то находится только \( x_1 < x < 0 \).

Собирая всё вместе:

4. Объединение интервалов: Мы получаем два интервала: \[ (x_1, 0) \cup [0, 1] \]

Итак, окончательное решение: \[ \boxed{\left( -\frac{3 + \sqrt{29}}{2}, 0 \right) \cup [0, 1]} \]