Решите систему уравнений

Для решения данной системы уравнений выполним следующие шаги:

Дана система: \[ \begin{cases} 7(x + y) - 9(x - y) = 86 \\ 8(x + y) + 7(x - y) = 81 \end{cases} \]

Рассмотрим первое уравнение: \[ 7(x + y) - 9(x - y) = 86 \] Раскроем скобки: \[ 7x + 7y - 9x + 9y = 86 \] Объединим подобные члены: \[ -2x + 16y = 86 \quad \Rightarrow \quad 2x - 16y = -86 \] Упростим: \[ x - 8y = -43 \quad \quad (1) \]

Теперь второе уравнение: \[ 8(x + y) + 7(x - y) = 81 \] Раскроем скобки: \[ 8x + 8y + 7x - 7y = 81 \] Объединим подобные члены: \[ 15x + y = 81 \] Получаем: \[ 15x + y = 81 \quad \quad (2) \]

Итак, у нас есть две упрощенные системы: \[ \begin{cases} x - 8y = -43 \\ 15x + y = 81 \end{cases} \]

Решим это методом подстановки или сложения. Применим метод подстановки: Из уравнения (1) выразим \( x \): \[ x = 8y - 43 \]

Подставим это в уравнение (2): \[ 15(8y - 43) + y = 81 \] Раскроем скобки: \[ 120y - 645 + y = 81 \] Объединим подобные члены: \[ 121y = 726 \] Отсюда \( y \): \[ y = 6 \]

Теперь подставим значение \( y \) в уравнение для \( x \): \[ x = 8(6) - 43 = 48 - 43 = 5 \]

Итак, решение системы: \[ x = 5, \quad y = 6 \]

Ответ: \( x = 5; \, y = 6 \).