Чтобы решить задачу, давайте сначала немного разберёмся с тем, что такое средняя скорость и как её вычислить.
Шаг 1: Определим переменные
Допустим, расстояние от города до поселка равно ( S ) км.
Шаг 2: Рассчитаем время в пути
Время поездки от города в поселок (со скоростью 40 км/ч):
[
t_1 = \frac{S}{40}
]
Время поездки от поселка в город (со скоростью 60 км/ч):
[
t_2 = \frac{S}{60}
]
Шаг 3: Рассчитаем общее время
Теперь давайте найдем общее время, затраченное на поездки:
[
T = t_1 + t_2 + t_{остановка}
]
Где ( t_{остановка} ) — это время, проведённое в поселке, равное половине времени движения из поселка в город:
[
t_{остановка} = \frac{1}{2} t_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{60} = \frac{S}{120}
]
Таким образом общее время ( T ) будет:
[
T = \frac{S}{40} + \frac{S}{60} + \frac{S}{120}
]
Шаг 4: Находим общий знаменатель
Чтобы сложить эти дроби, нам нужно найти общий знаменатель. Общим знаменателем для 40, 60 и 120 будет 120. Приведем дроби к общему знаменателю:
- ( \frac{S}{40} = \frac{3S}{120} )
- ( \frac{S}{60} = \frac{2S}{120} )
- ( \frac{S}{120} = \frac{S}{120} )
Теперь можем сложить всё:
[
T = \frac{3S}{120} + \frac{2S}{120} + \frac{S}{120} = \frac{6S}{120} = \frac{S}{20}
]
Шаг 5: Рассчитаем среднюю скорость
Средняя скорость (( V_{ср} )) автомобиля на всем пути вычисляется по формуле:
[
V_{ср} = \frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Общее время}}
]
Общее расстояние равно ( 2S ) (т.е. в одну сторону и в другую):
Теперь подставим в формулу:
[
V_{ср} = \frac{2S}{\frac{S}{20}} = 2S \cdot \frac{20}{S} = 40 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Средняя скорость автомобиля на всем пути составляет 40 км/ч.
