Автомобиль из города в поселок двигался со скоростью 40 км/ч, а обратно из поселка в город — со скоростью 60 км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля на всем пути, если…

Чтобы решить задачу, давайте сначала немного разберёмся с тем, что такое средняя скорость и как её вычислить.

Шаг 1: Определим переменные

Допустим, расстояние от города до поселка равно \( S \) км.

Шаг 2: Рассчитаем время в пути

1. Время поездки от города в поселок (со скоростью 40 км/ч): \[ t_1 = \frac{S}{40} \]

2. Время поездки от поселка в город (со скоростью 60 км/ч): \[ t_2 = \frac{S}{60} \]

Шаг 3: Рассчитаем общее время

Теперь давайте найдем общее время, затраченное на поездки: \[ T = t_1 + t_2 + t_{остановка} \]

Где \( t_{остановка} \) — это время, проведённое в поселке, равное половине времени движения из поселка в город: \[ t_{остановка} = \frac{1}{2} t_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{S}{60} = \frac{S}{120} \]

Таким образом общее время \( T \) будет: \[ T = \frac{S}{40} + \frac{S}{60} + \frac{S}{120} \]

Шаг 4: Находим общий знаменатель

Чтобы сложить эти дроби, нам нужно найти общий знаменатель. Общим знаменателем для 40, 60 и 120 будет 120. Приведем дроби к общему знаменателю:

1. \( \frac{S}{40} = \frac{3S}{120} \)
2. \( \frac{S}{60} = \frac{2S}{120} \)
3. \( \frac{S}{120} = \frac{S}{120} \)

Теперь можем сложить всё: \[ T = \frac{3S}{120} + \frac{2S}{120} + \frac{S}{120} = \frac{6S}{120} = \frac{S}{20} \]

Шаг 5: Рассчитаем среднюю скорость

Средняя скорость (\( V_{ср} \)) автомобиля на всем пути вычисляется по формуле: \[ V_{ср} = \frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Общее время}} \] Общее расстояние равно \( 2S \) (т.е. в одну сторону и в другую):

Теперь подставим в формулу: \[ V_{ср} = \frac{2S}{\frac{S}{20}} = 2S \cdot \frac{20}{S} = 40 \text{ км/ч} \]

Ответ:

Средняя скорость автомобиля на всем пути составляет 40 км/ч.