В магазине продаются огурцы, помидоры, лук, перец, картошка, кабачки, баклажаны, тыква, капуста, свёкла. Сколько различных сочетаний из четырёх видов овощей можно собрать?

Чтобы решить задачу о количестве различных сочетаний из четырёх видов овощей, которые можно собрать из предложенного списка, мы воспользуемся понятием комбинаторики.

Шаг 1: Определить общее количество овощей

В вашем примере перечислены следующие овощи:

1. Огурцы
2. Помидоры
3. Лук
4. Перец
5. Картошка
6. Кабачки
7. Баклажаны
8. Тыква
9. Капуста
10. Свёкла

Итак, у нас есть 10 различных овощей.

Шаг 2: Понять, что такое сочетание

Сочетание — это выбор элементов из множества, при этом порядок выбора не имеет значения. Например, выбор огурцов и помидоров — это то же самое, что выбор помидоров и огурцов. Мы ищем количество способов выбрать 4 овоща из 10.

Шаг 3: Вычислить количество сочетаний

Формула для вычисления количества сочетаний (обозначается как C(n, k)) следующая: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где:

• \( n \) — общее количество элементов (в нашем случае 10),
• \( k \) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 4),
• \( n! \) (факториал n) — это произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.

Шаг 4: Подставить значения в формулу

Подставим наши значения:

• \( n = 10 \)
• \( k = 4 \)

Тогда: \[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]

Шаг 5: Вычислить факториалы

Теперь давайте вычислим факториалы:

• \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \) (6! сокращается)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
• \( 6! \) сокращается.

Таким образом, формула становится: \[ C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} \]

Шаг 6: Вычисляем значение

Теперь нужно просто произвести вычисления:

• \( 10 \times 9 = 90 \)
• \( 90 \times 8 = 720 \)
• \( 720 \times 7 = 5040 \)

Теперь делим: \[ C(10, 4) = \frac{5040}{24} = 210 \]

Ответ

Таким образом, можно собрать 210 различных сочетаний из четырёх видов овощей из представленного списка.