катер, развивающий в стоящий в воде скорость 20 км/ч, прошёл путь 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. найдите скорость течения реки

Для решения этой задачи нам нужно использовать формулы, связанные со скоростью, временем и расстоянием. Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Данные из условия задачи:

   • Скорость катера в стоячей воде \( V_k = 20 \) км/ч.
   • Путь против течения \( S_1 = 36 \) км.
   • Путь по течению \( S_2 = 22 \) км.
   • Общее время в пути \( T = 3 \) часа.

2. Обозначения:

   • Скорость течения реки обозначим как \( V_t \) км/ч.
   • При движении против течения скорость катера будет равна \( V_k - V_t \).
   • При движении по течению скорость катера будет равна \( V_k + V_t \).

3. Запишем формулы для времени:

   • Время, затраченное на путь против течения: \[ T_1 = \frac{S_1}{V_k - V_t} = \frac{36}{20 - V_t} \]
   • Время, затраченное на путь по течению: \[ T_2 = \frac{S_2}{V_k + V_t} = \frac{22}{20 + V_t} \]

4. Составим уравнение для общего времени: \[ T_1 + T_2 = T \] Подставим выражения для \( T_1 \) и \( T_2 \): \[ \frac{36}{20 - V_t} + \frac{22}{20 + V_t} = 3 \]

5. Решим уравнение: Приведем дроби к общему знаменателю: \[ \frac{36(20 + V_t) + 22(20 - V_t)}{(20 - V_t)(20 + V_t)} = 3 \] Упростим числитель: \[ 36 \cdot 20 + 36 V_t + 22 \cdot 20 - 22 V_t = 720 + 36 V_t + 440 - 22 V_t = 1160 + 14 V_t \] Таким образом, у нас получится: \[ \frac{1160 + 14 V_t}{(20 - V_t)(20 + V_t)} = 3 \]

6. Умножим обе стороны на \((20 - V_t)(20 + V_t)\): \[ 1160 + 14 V_t = 3(20^2 - V_t^2) \] \(20^2 = 400\), поэтому: \[ 1160 + 14 V_t = 1200 - 3 V_t^2 \]

7. Переносим все в одну сторону: \[ 3 V_t^2 + 14 V_t - 40 = 0 \]

8. Решим квадратное уравнение с помощью формулы: \[ V_t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40)}}{2 \cdot 3} \] \[ = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 480}}{6} = \frac{-14 \pm \sqrt{676}}{6} \]

9. Находим корень: \[ \sqrt{676} = 26 \] Подставим обратно: \[ V_t = \frac{-14 + 26}{6} \quad \text{или} \quad V_t = \frac{-14 - 26}{6}. \]

   Первый корень: \[ V_t = \frac{12}{6} = 2 \quad \text{(приемлемый)} \]

   Второй корень отрицательный и не подходит. Таким образом, скорость течения реки: \[ V_t = 2 \text{ км/ч.} \]

10. Ответ: Скорость течения реки составляет 2 км/ч.