Вероятность изготовления на станке нестандартной детали равна 0,1. Найти вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными?

Чтобы решить задачу о вероятности изготовления стандартных деталей, когда вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1, мы можем использовать понятие вероятности Bernoulli (или биномиальное распределение).

Шаг 1: Определим данные

• P(некорректная деталь) = 0,1 (это вероятность, что деталь нестандартная).
• P(стандартная деталь) = 1 - P(некорректная деталь) = 1 - 0,1 = 0,9.
• Нам нужно найти вероятность того, что из 6 деталей 5 окажутся стандартными. Это значит, что 1 деталь будет нестандартной.

Шаг 2: Разберем задачу по биномиальному распределению

Формула биномиального распределения для нахождения вероятности, что из n испытаний (в данном случае 6 деталей) k раз произойдет успешный исход (в данном случае 5 стандартных деталей) записывается так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
• \(n\) — общее число деталей (6),
• \(k\) — число стандартных деталей (5),
• \(p\) — вероятность успеха (стандартная деталь, 0,9).

Шаг 3: Подсчитаем биномиальный коэффициент

В нашем случае:

\[ C(6, 5) = \frac{6!}{5! \cdot (6-5)!} = \frac{6 \cdot 5!}{5! \cdot 1!} = 6. \]

Шаг 4: Подставим значения в формулу

Теперь мы можем подставить все известные значения:

• \(n = 6\),
• \(k = 5\),
• \(p = 0,9\).

Итак, вероятность будет рассчитываться как:

\[ P(X = 5) = C(6, 5) \cdot (0,9)^5 \cdot (0,1)^{6-5} \] \[ P(X = 5) = 6 \cdot (0,9)^5 \cdot (0,1)^1. \]

Теперь посчитаем \( (0,9)^5 \) и \( (0,1)^1 \):

\[ (0,9)^5 = 0,59049, \] \[ (0,1)^1 = 0,1. \]

Шаг 5: Умножаем все вместе

Теперь подставим эти значения обратно в формулу:

\[ P(X = 5) = 6 \cdot 0,59049 \cdot 0,1, \] \[ P(X = 5) = 6 \cdot 0,059049 \approx 0,354294. \]

Ответ

Вероятность того, что из 6 взятых деталей 5 окажутся стандартными, составляет примерно 0,3543 или 35,43%.