Симметричную монету подкидывают 16 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 13…

Для решения этой задачи будем использовать формулу вероятности для биномиального распределения.

Когда мы подкидываем симметричную монету, вероятность выпадения решки или орла равна \( \frac{1}{2} \). Событие «монета выпала решкой ровно \( k \) раз» в \( n \) подкидываниях описывается следующей формулой:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что решка выпала ровно \( k \) раз,
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае \( p = 0.5 \)),
• \( n \) — общее количество подкидываний (в нашем случае \( n = 16 \)),
• \( k \) — количество успешных исходов (т.е. количество выпадений решки).

Теперь рассчитаем вероятности для двух случаев: когда решка выпала ровно \( 10 \) раз и когда решка выпала ровно \( 13 \) раз.

1. Для \( k = 10 \): \[ P(X = 10) = C(16, 10) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{10} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{6} = C(16, 10) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{16} \]

   Здесь \( C(16, 10) = \frac{16!}{10!(16-10)!} = \frac{16!}{10!6!} = 8008 \).

   Таким образом: \[ P(X = 10) = 8008 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{16} \]

2. Для \( k = 13 \): \[ P(X = 13) = C(16, 13) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{13} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{3} = C(16, 13) \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{16} \]

   Здесь \( C(16, 13) = C(16, 3) = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16!}{3!13!} = 560 \).

   Таким образом: \[ P(X = 13) = 560 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{16} \]

Теперь находим отношение вероятностей: \[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{8008 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{16}}{560 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{16}} = \frac{8008}{560} \]

Теперь упрощаем это отношение: \[ \frac{8008}{560} = \frac{8008 \div 56}{560 \div 56} = \frac{143}{10} = 14.3 \]

Таким образом, вероятность события «монета выпала решкой ровно \( 10 \) раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно \( 13 \) раз» в 14.3 раза.