Реши задачу. Прогулочный катер катал туристов 3 3 часа. За это время он проплыл 24 24 км по течению реки и 8 8 км против течения. Какова собственная скорость катера, если скорость…
Реши задачу. Прогулочный катер катал туристов 3 3 часа. За это время он проплыл 24 24 км по течению реки и 8 8 км против течения. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки составляет 2 2 км/ч? Запиши в каждое поле ответа верное число или выражение без пробелов. Для обозначения обыкновенной дроби используй /. Пусть собственная скорость катера равна x x км/ч. Тогда он будет идти по течению со скоростью км/ч, а против течения — со скоростью км/ч. По течению катер плыл 24 x + 2 x+2 24 ч, а против течения плыл 8 x − 2 x−2 8 ч. Так как на весь путь катер затратил 3 3 часа, получим уравнение: 24 x + 2 + 8 x − 2 = x+2 24 + x−2 8 = . Корни в порядке возрастания: x 1 = x 1 = , x 2 = x 2 = . Собственная скорость катера по смыслу задачи должна быть больше скорости течения реки. Значит, собственная скорость катера равна км/ч.
Для решения задачи о собственной скорости катера, давайте шаг за шагом разберём, как мы можем это сделать.
Определим переменные: Пусть собственная скорость катера равна \( x \) км/ч. Тогда мы можем определить скорости катера по течению и против течения реки:
- По течению: \( x + 2 \) км/ч (поскольку скорость течения реки составляет 2 км/ч).
- Против течения: \( x - 2 \) км/ч.
Определим время в пути: Теперь вычислим время, затраченное катером на путь в 24 км по течению и 8 км против течения.
Время в пути по течению можно вычислить по формуле: \[ t_1 = \frac{S_1}{V_1} = \frac{24}{x + 2} \quad (где \, S_1 = 24 \, км, \, V_1 = x + 2 \, км/ч) \]
Время в пути против течения: \[ t_2 = \frac{S_2}{V_2} = \frac{8}{x - 2} \quad (где \, S_2 = 8 \, км, \, V_2 = x - 2 \, км/ч) \]
Составим уравнение: Общая затрата времени катера на оба пути составляет 3 часа, поэтому мы можем записать уравнение: \[ t_1 + t_2 = 3 \] Подставим найденные времена: \[ \frac{24}{x + 2} + \frac{8}{x - 2} = 3 \]
Решим уравнение: Умножим обе стороны уравнения на \( (x + 2)(x - 2) \) для устранения дробей: \[ 24(x - 2) + 8(x + 2) = 3(x + 2)(x - 2) \] Раскроем скобки: \[ 24x - 48 + 8x + 16 = 3(x^2 - 4) \] Объединим подобные: \[ 32x - 32 = 3x^2 - 12 \] Переносим все в одну сторону: \[ 3x^2 - 32x + 20 = 0 \]
Решим квадратное уравнение: Для решения квадратного уравнения \( 3x^2 - 32x + 20 = 0 \) используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 1024 - 240 = 784 \] Найдём корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{32 \pm \sqrt{784}}{6} = \frac{32 \pm 28}{6} \] Таким образом, мы получаем: \[ x_1 = \frac{60}{6} = 10, \quad x_2 = \frac{4}{6} \approx 0.67 \]
Выберем подходящий корень: Поскольку собственная скорость катера должна быть больше скорости течения реки (2 км/ч), мы принимаем \( x_1 = 10 \) км/ч.
Таким образом, собственная скорость катера составляет 10 км/ч.
