Реши

Давайте разберём каждое уравнение по отдельности, применяя необходимые замены.

a) \(4x^4 - 65x^2 + 16 = 0\)

Заменим \(x^2 = t\). Тогда уравнение примет вид: \[4t^2 - 65t + 16 = 0\]

Теперь решаем квадратное уравнение: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 4\), \(b = -65\), \(c = 16\).

\[ t = \frac{65 \pm \sqrt{(-65)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 16}}{2 \cdot 4} \] \[ t = \frac{65 \pm \sqrt{4225 - 256}}{8} \] \[ t = \frac{65 \pm \sqrt{3969}}{8} \] \[ t = \frac{65 \pm 63}{8} \]

Это даёт нам два решения для \(t\):

1. \(t_1 = \frac{65 + 63}{8} = 16\)
2. \(t_2 = \frac{65 - 63}{8} = \frac{1}{4}\)

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):

1. \(x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4\)
2. \(x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}\)

Итак, решения: \(x = 4, -4, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\).

б) \(x^6 + 65x^3 + 8 = 0\)

Заменим \(x^3 = t\). Тогда уравнение примет вид: \[t^2 + 65t + 8 = 0\]

Теперь решаем квадратное уравнение: \[ t = \frac{-65 \pm \sqrt{65^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} \] \[ t = \frac{-65 \pm \sqrt{4225 - 32}}{2} \] \[ t = \frac{-65 \pm \sqrt{4193}}{2} \]

Так как дискриминант не является полным квадратом, то точные рациональные корни не найти без использования численных методов.

в) \(x - 2\sqrt{x} - 8 = 0\)

Заменим \(\sqrt{x} = t\). Тогда \(x = t^2\) и уравнение станет: \[t^2 - 2t - 8 = 0\]

Решаем квадратное уравнение: \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 + 32}}{2} \] \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ t = \frac{2 \pm 6}{2} \]

Получаем два решения для \(t\):

1. \(t_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4\)
2. \(t_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2\)

Однако \(t = \sqrt{x}\) должно быть неотрицательным, так что подойдет только \(t = 4\).

Таким образом, \(x = t^2 = 16\).

г) \(3x^2 - 26|x| - 9 = 0\)

Заменим \(|x| = t\). Уравнение станет: \[3t^2 - 26t - 9 = 0\]

Решаем квадратное уравнение: \[ t = \frac{26 \pm \sqrt{(-26)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 9}}{2 \cdot 3} \] \[ t = \frac{26 \pm \sqrt{676 + 108}}{6} \] \[ t = \frac{26 \pm \sqrt{784}}{6} \] \[ t = \frac{26 \pm 28}{6} \]

Это даёт нам два решения для \(t\):

1. \(t_1 = \frac{26 + 28}{6} = 9\)
2. \(t_2 = \frac{26 - 28}{6} = -\frac{1}{3}\)

Так как \(|x| = t\), \(t\) должен быть неотрицательным, подходит только \(t = 9\).

Следовательно, \(|x| = 9\) и \(x = \pm 9\).

Итак, решения: \(x = 9, -9\).