(x+1)²-8≤ (x+3)²

Решим неравенство \((x+1)^2 - 8 \leq (x+3)^2\) пошагово, чтобы вы могли понять весь процесс.

Шаг 1: Раскроем скобки

Начнем с раскрытия квадратов:

\[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \]

\[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]

Теперь подставим эти выражения в наше неравенство:

\[ x^2 + 2x + 1 - 8 \leq x^2 + 6x + 9 \]

Шаг 2: Упростим неравенство

Это можно упростить:

\[ x^2 + 2x + 1 - 8 \leq x^2 + 6x + 9 \]

Сначала упростим левую часть:

\[ x^2 + 2x - 7 \leq x^2 + 6x + 9 \]

Теперь вычтем \(x^2\) с обеих сторон:

\[ 2x - 7 \leq 6x + 9 \]

Шаг 3: Переносим все слагаемые в одну сторону

Теперь перенесем все слагаемые, связанные с \(x\), на одну сторону неравенства:

\[ 2x - 6x \leq 9 + 7 \]

Это даст:

\[ -4x \leq 16 \]

Шаг 4: Разделим на -4

Теперь, чтобы найти \(x\), разделим обе стороны на -4. Не забудьте, что при делении на отрицательное число знак неравенства сменяется на противоположный:

\[ x \geq -4 \]

Шаг 5: Запись решения

Мы нашли, что решение неравенства: \[ x \geq -4 \]

Шаг 6: Интервальная запись решения

В интервале это можно записать как:

\[ [-4, +\infty) \]

Заключение

Таким образом, все значения \(x\) больше или равные -4 удовлетворяют данному неравенству. Вы можете использовать этот подход для решения других неравенств, следуя тем же шагам: раскройте скобки, упростите выражения и переносите слагаемые на одну сторону, обращая внимание на знак неравенства при делении или умножении на отрицательное число.