В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 500 000 рублей как вы договаривались раньше, однако вернуть эту сумму поставщик не может -…
В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 500 000 рублей как вы договаривались раньше, однако вернуть эту сумму поставщик не может - нет денег. Но у него есть 100 облигаций, которые исполняются (“заканчиваются/гасятся”) через 5 лет. То есть, в течение следующих 5 лет по каждой облигации в конце года платится 1000, а в конце 5 года дополнительно к 1000 еще и номинал облигации Х рублей. Найдите величину Х при которой вы согласитесь принять эти облигации сейчас вместо 500 000 деньгами, если ставка по депозиту 10% и следующие 5 лет не будет меняться. Предполагается капитализация процентов. Ответ округлите ДО ДВУХ знаков после запятой.
Давайте решим задачу шаг за шагом, учитывая цену 500 000 рублей и условия облигаций.
Дано:
- Общая сумма, которую вы хотели получить: \( S = 500,000 \) рублей.
- Облигаций: \( N = 100 \).
- Годовые выплаты по облигации: \( C = 1,000 \) рублей.
- Ставка по депозиту (процентная ставка): \( r = 10\% \) или \( 0.1 \).
- Облигация гасится через 5 лет, и в конце пятого года вы получаете дополнительную сумму \( Х \).
Вычисления:
Сначала нам нужно определить приведенное значение всех будущих денежных потоков от облигаций и сопоставить его с 500,000 рублей.
1. Расчет годовых выплат
Каждый год в течение 5 лет вы будете получать по 1,000 рублей. Нам нужно найти текущую стоимость этих выплат на момент, когда вы принимаете облигации, используя формулу дисконта:
\[
PV = \frac{C}{(1 + r)^t}
\]
где \( PV \) - приведенная стоимость, \( C \) - выплата, \( r \) - ставка, \( t \) - год.
Вот расчеты для каждой из 5 выплат:
Год 1: \[ PV_1 = \frac{1,000}{(1 + 0.1)^1} = \frac{1,000}{1.1} \approx 909.09 \]
Год 2: \[ PV_2 = \frac{1,000}{(1 + 0.1)^2} = \frac{1,000}{1.21} \approx 826.45 \]
Год 3: \[ PV_3 = \frac{1,000}{(1 + 0.1)^3} = \frac{1,000}{1.331} \approx 751.31 \]
Год 4: \[ PV_4 = \frac{1,000}{(1 + 0.1)^4} = \frac{1,000}{1.4641} \approx 683.01 \]
Год 5: \[ PV_5 = \frac{1,000}{(1 + 0.1)^5} = \frac{1,000}{1.61051} \approx 620.92 \]
Теперь суммируем все приведенные стоимости первых 5 годовых выплат: \[ PV_{annual} = PV_1 + PV_2 + PV_3 + PV_4 + PV_5 \] \[ PV_{annual} \approx 909.09 + 826.45 + 751.31 + 683.01 + 620.92 \approx 3790.78 \]
2. Рассчет номинала
В конце пятого года вы также получите номинал \( Х \) рублей. Приведенная стоимость этого номинала на момент оценки (сегодня) будет равна:
\[
PV_{X} = \frac{X}{(1 + 0.1)^5} = \frac{X}{1.61051}
\]
Суммируем приведенные стоимости
Теперь у нас есть общее уравнение: \[ PV_{annual} + PV_{X} = 500,000 \] То есть: \[ 3790.78 + \frac{X}{1.61051} = 500,000 \]
Переносим 3790.78 на правую сторону: \[ \frac{X}{1.61051} = 500,000 - 3790.78 \] \[ \frac{X}{1.61051} = 496,209.22 \]
Умножаем обе стороны на 1.61051: \[ X = 496,209.22 \times 1.61051 \approx 799,888.79 \]
Ответ
Таким образом, номинал \( Х \) облигации должен составлять примерно 799,888.79 рублей. Округляя до двух знаков после запятой, мы получаем:
\[ \boxed{799888.79} \]
