На занятии в матиматическом кружке предложили сыграть в игру и на доске написали некоторое число. По условиям, можно стереть последнюю цифру или прибавить к написанному числу 2021…
На занятии в матиматическом кружке предложили сыграть в игру и на доске написали некоторое число. По условиям, можно стереть последнюю цифру или прибавить к написанному числу 2021 и записать полученную сумму, при этом стереть предыдущее число. Играет один человек и указанные действия в любом порядке можно выполнять неограниченное количество раз. Получится при каком-нибудь исходе на увидеть на доске 3? (да или нет)
Для решения задачи, давайте проанализируем доступные действия и посмотрим, можем ли мы получить число 3 на доске.
На старте у нас есть некоторое число \( x \). Мы можем:
- Стереть последнюю цифру числа \( x \). Если \( x \) — это 5, это действие даст нам 0 (или, в общем случае, деление числа на 10 с округлением в меньшую сторону).
- Прибавить к числу \( x \) значение 2021. Это действие даст нам новое число \( x + 2021 \).
Шаг 1: Исследуем действия
Начнём с первого действия — стереть последнюю цифру. Это может привести к значению, которое может быть не больше, чем текущее число.
Шаг 2: Прибавление
Теперь рассмотрим повторное прибавление 2021. Прибавляя 2021, каждое следующее число можно записать как: \[ x, x + 2021, x + 2 \times 2021, \dots \]
Шаг 3: Разбор возможности получения 3
Чтобы понять, можем ли мы получить 3, давайте попробуем рассмотреть, какое число у нас может быть в процессе:
Когда мы прибавляем 2021, если у нас в какой-то момент получится число 3, оно должно быть равно какому-то \( x + k \times 2021 \) (где \( k \) — это количество раз, когда мы прибавили 2021, и \( x \) — начальное число). Но поскольку 2021 — это значительно больше, чем 3, важно заметить, что не получится, чтобы \( x + k \times 2021 = 3 \) для положительных \( x \).
Шаг 4: Работа с последней цифрой
Теперь давайте подумаем, что происходит, если мы берем различные числа и, используя стертые последние цифры, также пытаемся добиться 3.
Если мы стерли последнюю цифру числа и получили его, скажем, в \( 10, 20, 30, ... \) или даже \( 30, 31, 32, 33 \), в этих случаях нам нужно получить 3.
Стерев, скажем, 3, 13, 23, ... и сопоставляя с прибавлением 2021, не поможет получить 3, так как оно будет всегда равно нулю или больше.
Шаг 5: Итог
Мы рассматриваем числовой набор, где добавление 2021 и деление на десять не способно привести к желаемому значению 3. Каждый раз, прибавляя 2021, мы лишь увеличиваем число. Таким образом, приходим к выводу:
Ответ: Нет, нельзя получить число 3 с помощью указанных действий.
