Через 3 ч 20 мин после отправления плота от пристани A по течению реки навстречу ему от пристани B отошёл катер. Найдите скорость течения реки, если плот и катер встретились на…

Для решения данной задачи, давайте разберём все условия поэтапно и сформулируем все исходные данные.

1. Исходные данные:

   • Скорость катера в стоячей воде (Vк) = 18 км/ч.
   • Расстояние между пристанями A и B (S) = 40 км.
   • Плот и катер встретились на расстоянии 15 км от пристани A.
   • Время, через которое катер отошёл после плота = 3 ч 20 мин = 3 + 20/60 = 3,33 ч.

2. Скорость течения реки: Обозначим скорость течения реки как Vт (км/ч).

3. Скорости плавания:

   • Скорость плота - Vп, так как плот движется по течению, его скорость будет равна Vт.
   • Катер движется против течения, его скорость будет равна Vк - Vт.

4. Время движения плота до встречи: Поскольку плот отправился на 3,33 часа раньше катера, то он проплыл расстояние в 15 км за: \[ t_плот = \frac{15}{V_t} \quad \text{(время, затраченное плотом на 15 км)} \]

5. Время движения катера: Катер должен был проплыть оставшееся расстояние до встречи. Это расстояние равно: \[ S_{катер} = 40 км - 15 км = 25 км \] Время на это: \[ t_{катер} = \frac{25}{18 - V_t} \quad \text{(время, затраченное катером на 25 км)} \]

6. Уравнение времени: Катер отправляется через 3,33 часа после плота, значит, время движения плота можно выразить через время движения катера, прибавив 3,33 часа: \[ t_{катер} = t_{плот} - 3,33 \] Подставим выражения для времени: \[ \frac{25}{18 - V_t} = \frac{15}{V_t} - 3,33 \]

7. Упростим уравнение: Умножим обе стороны на \( V_t (18 - V_t) \) для устранения дробей: \[ 25V_t = 15(18 - V_t) - 3,33V_t(18 - V_t) \] Раскроем скобки: \[ 25V_t = 270 - 15V_t - 3,33V_t(18 - V_t) \] Приведём всё к одной стороне: \[ 25V_t + 15V_t + 3,33V_t(18 - V_t) = 270 \] \[ 40V_t + 3,33V_t(18 - V_t) = 270 \] Разложим второй член: \[ 40V_t + 60V_t - 3,33V_t^2 = 270 \] \[ 100V_t - 3,33V_t^2 = 270 \]

8. Решим квадратное уравнение: Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ -3,33V_t^2 + 100V_t - 270 = 0 \] Умножим всё на -1 для удобства: \[ 3,33V_t^2 - 100V_t + 270 = 0 \] Теперь используем формулу для решения квадратных уравнений: \[ V_t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где:

   • \( a = 3,33 \)
   • \( b = -100 \)
   • \( c = 270 \)

   Подставим значения: \[ V_t = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 3,33 \cdot 270}}{2 \cdot 3,33} \] Рассчитаем дискриминант: \[ D = 10000 - 3594 = 6406 \] Тогда: \[ V_t = \frac{100 \pm \sqrt{6406}}{6,66} \] Найдем корень: \[ \sqrt{6406} \approx 80 \] Тогда: \[ V_t \approx \frac{100 \pm 80}{6,66} \] Возможные значения: \[ V_t^1 = \frac{180}{6,66} \approx 27,03 \quad \text{(не подходит, больше максимальной скорости)} \] \[ V_t^2 = \frac{20}{6,66} \approx 3,00 \]

Таким образом, скорость течения реки \( V_t \approx 3 \, \text{км/ч} \).