Через 3 ч 20 мин после отправления плота от пристани A по течению реки навстречу ему от пристани B отошёл катер. Найдите скорость течения реки, если плот и катер встретились на расстоянии 15 км от пристани A, скорость катера в стоячей воде равна 18
км/ч, а расстояние между пристанями A и B равно
40 км.
Для решения данной задачи, давайте разберём все условия поэтапно и сформулируем все исходные данные.
1. **Исходные данные:**
- Скорость катера в стоячей воде (Vк) = 18 км/ч.
- Расстояние между пристанями A и B (S) = 40 км.
- Плот и катер встретились на расстоянии 15 км от пристани A.
- Время, через которое катер отошёл после плота = 3 ч 20 мин = 3 + 20/60 = 3,33 ч.
2. **Скорость течения реки:** Обозначим скорость течения реки как Vт (км/ч).
3. **Скорости плавания:**
- Скорость плота - Vп, так как плот движется по течению, его скорость будет равна Vт.
- Катер движется против течения, его скорость будет равна Vк - Vт.
4. **Время движения плота до встречи:**
Поскольку плот отправился на 3,33 часа раньше катера, то он проплыл расстояние в 15 км за:
\[
t_плот = \frac{15}{V_t} \quad \text{(время, затраченное плотом на 15 км)}
\]
5. **Время движения катера:**
Катер должен был проплыть оставшееся расстояние до встречи. Это расстояние равно:
\[
S_{катер} = 40 км - 15 км = 25 км
\]
Время на это:
\[
t_{катер} = \frac{25}{18 - V_t} \quad \text{(время, затраченное катером на 25 км)}
\]
6. **Уравнение времени:**
Катер отправляется через 3,33 часа после плота, значит, время движения плота можно выразить через время движения катера, прибавив 3,33 часа:
\[
t_{катер} = t_{плот} - 3,33
\]
Подставим выражения для времени:
\[
\frac{25}{18 - V_t} = \frac{15}{V_t} - 3,33
\]
7. **Упростим уравнение:**
Умножим обе стороны на \( V_t (18 - V_t) \) для устранения дробей:
\[
25V_t = 15(18 - V_t) - 3,33V_t(18 - V_t)
\]
Раскроем скобки:
\[
25V_t = 270 - 15V_t - 3,33V_t(18 - V_t)
\]
Приведём всё к одной стороне:
\[
25V_t + 15V_t + 3,33V_t(18 - V_t) = 270
\]
\[
40V_t + 3,33V_t(18 - V_t) = 270
\]
Разложим второй член:
\[
40V_t + 60V_t - 3,33V_t^2 = 270
\]
\[
100V_t - 3,33V_t^2 = 270
\]
8. **Решим квадратное уравнение:**
Перепишем уравнение в стандартной форме:
\[
-3,33V_t^2 + 100V_t - 270 = 0
\]
Умножим всё на -1 для удобства:
\[
3,33V_t^2 - 100V_t + 270 = 0
\]
Теперь используем формулу для решения квадратных уравнений:
\[
V_t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Где:
- \( a = 3,33 \)
- \( b = -100 \)
- \( c = 270 \)
Подставим значения:
\[
V_t = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 3,33 \cdot 270}}{2 \cdot 3,33}
\]
Рассчитаем дискриминант:
\[
D = 10000 - 3594 = 6406
\]
Тогда:
\[
V_t = \frac{100 \pm \sqrt{6406}}{6,66}
\]
Найдем корень:
\[
\sqrt{6406} \approx 80
\]
Тогда:
\[
V_t \approx \frac{100 \pm 80}{6,66}
\]
Возможные значения:
\[
V_t^1 = \frac{180}{6,66} \approx 27,03 \quad \text{(не подходит, больше максимальной скорости)}
\]
\[
V_t^2 = \frac{20}{6,66} \approx 3,00
\]
Таким образом, скорость течения реки \( V_t \approx 3 \, \text{км/ч} \).
