В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 1 000 000 рублей как вы договаривались в том году, однако вернуть эту сумму поставщик не…
В начале года к вам пришел ваш поставщик и сказал, что не сможет поставить материалов на 1 000 000 рублей как вы договаривались в том году, однако вернуть эту сумму поставщик не может - нет денег. Но у него есть 100 облигаций, которые исполняются ("заканчиваются") через 5 лет. То есть, в течение следующих 5 лет по каждой облигации в конце года платится 1000, а в конце 5 года дополнительно к 1000 еще и номинал облигации Х рублей. Найдите величину Х при которой вы согласитесь принять эти облигации сейчас вместо 1 000 ОО0 деньгами, если ставка по депозиту 10% и следующие 5 лет не будет меняться. Предполагается капитализация процентов. При необходимости, округлите ответ ДО ДВУХ знаков после запятой.
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Условия задачи:
- Нам нужно определить величину \( X \) (номинал облигации), при которой мы согласимся принять 100 облигаций вместо 1 000 000 рублей.
- Каждая облигация приносит 1000 рублей в конце каждого из 5 лет + номинал облигации \( X \) в конце 5-го года.
- Ставка по депозиту составляет 10% с капитализацией.
Шаг 1: Определение приведенной стоимости
Нам нужно найти, какую сумму мы бы готовы были инвестировать сейчас, чтобы в будущем получить те же деньги, что принесет нам облигация.
Приведенная стоимость (PV) — это расчет суммы текущей стоимости всех будущих платежей.
Формула для расчета будущих платежей с учетом капитализации: \[ PV = \frac{C}{(1 + r)^n} \]
где:
- \( C \) — сумма будущего платежа,
- \( r \) — процентная ставка,
- \( n \) — число лет до получения платежа.
Шаг 2: Расчет всех будущих платежей
Год 1:
- Платеж: 1000 рублей
- Приведенная стоимость: \[ PV_1 = \frac{1000}{(1 + 0.1)^1} = \frac{1000}{1.1} \approx 909.09 \]
Год 2:
- Платеж: 1000 рублей
- Приведенная стоимость: \[ PV_2 = \frac{1000}{(1 + 0.1)^2} = \frac{1000}{1.21} \approx 826.45 \]
Год 3:
- Платеж: 1000 рублей
- Приведенная стоимость: \[ PV_3 = \frac{1000}{(1 + 0.1)^3} = \frac{1000}{1.331} \approx 751.31 \]
Год 4:
- Платеж: 1000 рублей
- Приведенная стоимость: \[ PV_4 = \frac{1000}{(1 + 0.1)^4} = \frac{1000}{1.4641} \approx 683.01 \]
Год 5 (основной платеж + последний платеж):
- Платеж: 1000 + \( X \) рублей
- Приведенная стоимость: \[ PV_5 = \frac{1000 + X}{(1 + 0.1)^5} = \frac{1000 + X}{1.61051} \]
Шаг 3: Суммирование приведенных стоимостей
Теперь сложим все приведенные стоимости: \[ PV_{total} = 100 \cdot \left( PV_1 + PV_2 + PV_3 + PV_4 + PV_5 \right) \] \[ = 100 \cdot \left( 909.09 + 826.45 + 751.31 + 683.01 + \frac{1000 + X}{1.61051} \right) \]
Вычислим сумму \( PV_1 + PV_2 + PV_3 + PV_4 \): \[ PV_{total} = 100 \cdot \left( 909.09 + 826.45 + 751.31 + 683.01 \right) + 100 \cdot \frac{1000 + X}{1.61051} \]
\[ = 100 \cdot 3169.86 + 100 \cdot \frac{1000 + X}{1.61051} \] \[ = 316986 + 62.072 \cdot (1000 + X) \]
Шаг 4: Соответствие 1 000 000 рублей
Принимая это за равноценную сумму (1 000 000 рублей): \[ 316986 + 62.072 \cdot (1000 + X) = 1000000 \]
Шаг 5: Разрешение уравнения
Решим это уравнение для нахождения \( X \): \[ 62.072 \cdot (1000 + X) = 1000000 - 316986 \] \[ 62.072 \cdot (1000 + X) = 683014 \] \[ 1000 + X = \frac{683014}{62.072} \] \[ 1000 + X \approx 10994.48 \] \[ X \approx 10994.48 - 1000 \] \[ X \approx 9994.48 \]
Ответ
Приблизительное значение \( X \approx 9994.48 \) рублей.
Таким образом, если номинал облигации будет около 9994.48 рублей, вы согласитесь принять облигации вместо 1 000 000 рублей.
