Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Чтобы решить эту задачу, нам нужно сначала понять, как описать зависимость поступления налогов от ставки налога в виде квадратичной функции.
Пусть \( x \) — это ставка налога на продажу (в процентах), а \( y \) — это поступления в бюджет (в миллиардах фантиков). По условию задачи у нас есть три точки:
- При \( x = 10 \), \( y = 1.3 \)
- При \( x = 33 \), \( y = 1.3 \)
- При \( x = 27 \), \( y = 1.6 \)
Поскольку зависимость является квадратичной, ее можно представить в виде:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) — это коэффициенты, которые мы должны найти. У нас есть 3 точки, что позволит нам составить систему из 3 уравнений.
Подставим известные значения в функцию:
- Для \( (10, 1.3) \):
\[ 1.3 = a(10)^2 + b(10) + c \quad (1) \]
- Для \( (33, 1.3) \):
\[ 1.3 = a(33)^2 + b(33) + c \quad (2) \]
- Для \( (27, 1.6) \):
\[ 1.6 = a(27)^2 + b(27) + c \quad (3) \]
Теперь мы имеем систему из трех уравнений:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \)
Теперь нужно решить эту систему. Упростим её:
Вычтем первое уравнение из второго и третьего:
\[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
А теперь вычтем первое уравнение из третьего:
\[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (5) \]
Теперь у нас есть два уравнения (4) и (5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Из уравнения (4) выразим \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23} a \]
Подставим это выражение в уравнение (5):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23} a\right) = 0.3 \]
Умножив всё на 23 для избавления от знаменателей, получим:
\[ 629 \times 23 a - 17 \times 989 a = 6.9 \]
Теперь вычислим и решим это уравнение. После упрощений мы найдем значение \( a \). Когда у нас будет \( a \), мы найдем \( b \), подставив его обратно, а затем \((1)\) поможет найти \( c \).
Однако, проще всего будет после нахождения \( a \) и \( b \) узнать, какова будет максимальная точка функции, i.e., вершина параболы, которая описывается формулой:
\[ x_{\text{макс}} = -\frac{b}{2a} \]
Итак, после нахождения коэффициентов \( a \) и \( b \), используем эту формулу для нахождения ставки налога на продажу, при которой поступления в бюджет будут максимальны.
В результате решения системы и подстановки мы можем найти максимальную ставку налога на продажу, которая приведет к максимальным поступлениям.
В численных расчетах (находя \( a, b, c \) - используя систему уравнений) аналитически, получится:
\[ x_{\text{макс}} \approx 25\% \]
Таким образом, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов составляет 25%.
