| х +2 | + 2 | х -4 | = 10 - х

Для решения уравнения \( | x + 2 | + 2 | x - 4 | = 10 - x \) давай разберем его шаг за шагом.

1. Упростим уравнение: У нас есть две абсолютные величины. Чтобы убрать их, нам нужно рассмотреть разные случаи в зависимости от значений \( x \).

2. Определим границы для абсолютных величин:

   • \( x + 2 = 0 \) при \( x = -2 \)
   • \( x - 4 = 0 \) при \( x = 4 \)

Таким образом, границы определяют три интервала:

• \( x < -2 \)
• \( -2 \leq x < 4 \)
• \( x \geq 4 \)

Теперь решим уравнение для каждого из интервалов.

1. Первый интервал \( x < -2 \)

Здесь оба выражения в модулях будут отрицательными:

• \( | x + 2 | = - (x + 2) = -x - 2 \)
• \( | x - 4 | = - (x - 4) = -x + 4 \)

Подставим в уравнение: \[ -(x + 2) + 2 - (x - 4) = 10 - x \] Упрощаем: \[ -x - 2 + 2 - x + 4 = 10 - x \] \[ -2x + 4 = 10 - x \] Переносим \( -x \) влево: \[ -x + 4 = 10 \] \[ -x = 6 \Rightarrow x = -6 \] Проверим, подходит ли \( x = -6 \) в интервал \( x < -2 \) — подходит.

2. Второй интервал \( -2 \leq x < 4 \)

Здесь одно выражение в модуле положительное, другое — отрицательное:

• \( | x + 2 | = x + 2 \)
• \( | x - 4 | = - (x - 4) = -x + 4 \)

Подставим в уравнение: \[ (x + 2) + 2 - (x - 4) = 10 - x \] Упрощаем: \[ x + 2 + 2 - x + 4 = 10 - x \] \[ 8 = 10 - x \] Переносим \( -x \) влево: \[ x = 2 \] Проверим, подходит ли \( x = 2 \) в интервал \( -2 \leq x < 4 \) — подходит.

3. Третий интервал \( x \geq 4 \)

Здесь оба выражения в модулях будут положительными:

• \( | x + 2 | = x + 2 \)
• \( | x - 4 | = x - 4 \)

Подставим в уравнение: \[ (x + 2) + 2 + (x - 4) = 10 - x \] Упрощаем: \[ x + 2 + 2 + x - 4 = 10 - x \] \[ 2x = 10 - x \] Переносим \( -x \) влево: \[ 3x = 10 \] \[ x = \frac{10}{3} \approx 3.33 \] Проверим, подходит ли \( x = \frac{10}{3} \) в интервал \( x \geq 4 \) — не подходит.

Итак, подытожим

Из всех рассмотренных случаев у нас есть решения:

1. \( x = -6 \) (из первого интервала)
2. \( x = 2 \) (из второго интервала)

Ответ: \( x = -6 \) и \( x = 2 \).