Чтобы добраться до университета, студент Петр может воспользоваться автобусом одного из двух маршрутов, которые останавливаются на одной и той же остановке. Движение автобусов по второму маршруту никак не зависит от расписания первого маршрута, однако известно, что на первом маршруте автобусы ходят с интервалом точно 18 минут, а на втором – точно 15 минут. Петр приходит на остановку в случайный момент времени. Найдите вероятность того, что Петру придется ожидать автобуса не дольше 10 минут.

Для решения задачи о вероятности того, что Петр будет ждать автобус не дольше 10 минут, нужно рассмотреть временные интервалы, связанные с движением автобусов по обоим маршрутам. ### Шаг 1: Определение времени ожидания 1. **Первый маршрут:** Автобусы приходят с интервалом 18 минут. 2. **Второй маршрут:** Автобусы приходят с интервалом 15 минут. ### Шаг 2: Анализ возможных времени ожидания Поскольку Петр может прийти в любой момент времени, давайте разобьем 18-минутный интервал на "отрезки ожидания". Это можно представить следующим образом: - В течение **первого** интервала (0-18 минут) работает первый маршрут. - В течение **второго** интервала (0-15 минут) работает второй маршрут. ### Шаг 3: Определение времени ожидания для каждого маршрута 1. **Для первого маршрута:** - Если Петр приходит в пределах 10 минут до отправления следующего автобуса, то он будет ждать меньше 10 минут. - Это означает, что он может прийти за 10 минут до отправления и до момента, когда автобус уже уедет (т.е. от 0 до 10 минут до автобусного интервала). 2. **Для второго маршрута:** - Аналогично, he will wait less than 10 minutes if he arrives within 10 minutes before the bus leaves, which means he can arrive at any point from 0 to 10 minutes before the next bus leaves. ### Шаг 4: Рассмотрение общей длины интервала Для более точного анализа объединим интервалы: - Общая длина одного полного интервала (наименьшее общее кратное) для этих маршрутов равна 90 минут. - **Проверим по 18 и 15:** - ЛКМ(18, 15) = 90. Весь цикл составит 90 минут, и в эти 90 минут будут происходить остановки как для первого, так и для второго маршрута. ### Шаг 5: Определение "выгодных" временных интервалы Теперь нам нужно определить "выгодные" временные интервалы, когда Петр ждет не больше 10 минут на каждом из маршрутов. - **Для первого маршрута:** - Петр может ждать вот в таких временных интервалах: - С 0 до 10 (приходит за 10 минут до отправления). - 18 - 10 = 8 (с 8 до 18 минут). Это 10 минут (с 0 до 10) + 8 минут (с 10 до 18) = 18 минут. - **Для второго маршрута:** - Он может ждать: - С 0 до 10 (приходит за 10 минут до отправления). - 15 - 10 = 5 (с 5 до 15 минут). Это 10 минут (0-10) + 5 минут (10-15) = 15 минут. ### Шаг 6: Общая длина "выгодных" временных интервалов Теперь посчитаем общие "желаемые" временные интервалы: На 90 минут: - Первый маршрут: 18 минут, - Второй маршрут: 15 минут. ### Шаг 7: Найдем итоговую вероятность Общая длина временного отрезка, когда Петр будет ждать не больше 10 минут, равна: - 18 (первый) + 15 (второй) = 33 минуты. Но стоит отметить, что некоторые временные интервалы могут пересекаться. Чтобы быть точным, мы учитываем, что окончательный результат предполагает пересечение интервалов. Таким образом, общее время ожидания не должно превышать 30 минут (из-за 90, умножив на учет общей продолжительности). Таким образом, Вероятность будет рассчитана как: \[ P = \frac{33}{90} \] Упрощая, получаем примерно: \[ P = \frac{11}{30} \approx 0.3667. \] ### Ответ: Вероятность того, что Петр будет ждать автобус не дольше 10 минут, составляет \(\frac{11}{30} \approx 0.3667\).