-9x² >_-8x-1
Для того чтобы решить неравенство \(-9x^2 > -8x - 1\), начнем с его упрощения и приведения всех членов на одну сторону.
Шаг 1: Приведение неравенства к стандартному виду
Мы можем переместить все члены в левую часть неравенства: \[ -9x^2 + 8x + 1 > 0 \] Теперь наше неравенство выглядит так: \[ -9x^2 + 8x + 1 > 0 \]
Шаг 2: Умножение на -1
Так как мы не можем оставить коэффициент перед \(x^2\) отрицательным (это поменяет знак неравенства), умножим все неравенство на -1: \[ 9x^2 - 8x - 1 < 0 \] Не забываем, что знак неравенства меняется на противоположный при умножении на отрицательное число.
Шаг 3: Поиск корней квадратного уравнения
Теперь нам нужно найти корни уравнения: \[ 9x^2 - 8x - 1 = 0 \] Используем формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D\) — дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \(a = 9\), \(b = -8\), \(c = -1\).
Подставим значения в формулу для дискриминанта: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 \] Теперь находим корни: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 9} = \frac{8 \pm 10}{18} \] Таким образом,
- Первый корень: \[ x_1 = \frac{8 + 10}{18} = \frac{18}{18} = 1 \]
- Второй корень: \[ x_2 = \frac{8 - 10}{18} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9} \]
Шаг 4: Интервалы для проверки
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{1}{9}\). Это делит числовую ось на три интервала:
- \((- \infty, -\frac{1}{9})\)
- \((- \frac{1}{9}, 1)\)
- \((1, +\infty)\)
Шаг 5: Проверка знаков
Теперь проверим знак нашего выражения \(9x^2 - 8x - 1\) в каждом интервале:
Для интервала \((- \infty, -\frac{1}{9})\): Например, подставим \(x = -1\): \[ 9(-1)^2 - 8(-1) - 1 = 9 + 8 - 1 = 16 > 0 \]
Для интервала \((- \frac{1}{9}, 1)\): Например, подставим \(x = 0\): \[ 9(0)^2 - 8(0) - 1 = -1 < 0 \]
Для интервала \((1, +\infty)\): Например, подставим \(x = 2\): \[ 9(2)^2 - 8(2) - 1 = 36 - 16 - 1 = 19 > 0 \]
Шаг 6: Запись решения
Мы ищем, когда \(9x^2 - 8x - 1 < 0\). Это происходит на интервале: \[ x \in \left(-\frac{1}{9}, 1\right) \]
Таким образом, окончательный ответ будет: \[ \boxed{\left(-\frac{1}{9}, 1\right)} \]
