81x²больще или равно 16

Чтобы решить неравенство \( 81x^2 \geq 16 \), следуем этим шагам: ### Шаг 1: Переносим все члены на одну сторону Мы можем начать с того, чтобы привести неравенство к стандартной форме. Для этого перенесем 16: \[ 81x^2 - 16 \geq 0 \] ### Шаг 2: Разложение на множители Теперь мы можем разложить выражение \( 81x^2 - 16 \) с помощью формулы разности квадратов: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Здесь \( a = 9x \) и \( b = 4 \) (так как \( \sqrt{81} = 9 \) и \( \sqrt{16} = 4 \)): \[ 81x^2 - 16 = (9x - 4)(9x + 4) \] ### Шаг 3: Решение неравенства Теперь у нас есть: \[ (9x - 4)(9x + 4) \geq 0 \] Мы должны определить, когда произведение этих двух множителей больше или равно нулю. Для этого найдем корни неравенства. Корни: 1. \( 9x - 4 = 0 \) дает \( x = \frac{4}{9} \) 2. \( 9x + 4 = 0 \) дает \( x = -\frac{4}{9} \) ### Шаг 4: Определение знаков Теперь мы можем разделить числовую прямую на интервалы на основе найденных корней: - Интервал 1: \( (-\infty, -\frac{4}{9}) \) - Интервал 2: \( (-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}) \) - Интервал 3: \( (\frac{4}{9}, +\infty) \) Теперь проверим знак произведения \( (9x - 4)(9x + 4) \) на каждом интервале: 1. Для \( x < -\frac{4}{9} \) (например, \( x = -1 \)): \[ (9(-1) - 4)(9(-1) + 4) = (-9 - 4)(-9 + 4) = (-13)(-5) > 0 \] 2. Для \( -\frac{4}{9} < x < \frac{4}{9} \) (например, \( x = 0 \)): \[ (9(0) - 4)(9(0) + 4) = (-4)(4) < 0 \] 3. Для \( x > \frac{4}{9} \) (например, \( x = 1 \)): \[ (9(1) - 4)(9(1) + 4) = (5)(13) > 0 \] ### Шаг 5: Объединение результатов Неравенство \( (9x - 4)(9x + 4) \geq 0 \) выполняется для интервалов: - \( (-\infty, -\frac{4}{9}] \) - \( [\frac{4}{9}, +\infty) \) ### Ответ Таким образом, решением неравенства \( 81x^2 \geq 16 \) являются \( x \leq -\frac{4}{9} \) или \( x \geq \frac{4}{9} \). Итоговое решение: \[ x \in (-\infty, -\frac{4}{9}] \cup [\frac{4}{9}, +\infty) \]