81x²больще или равно 16

Чтобы решить неравенство \( 81x^2 \geq 16 \), следуем этим шагам:

Шаг 1: Переносим все члены на одну сторону

Мы можем начать с того, чтобы привести неравенство к стандартной форме. Для этого перенесем 16: \[ 81x^2 - 16 \geq 0 \]

Шаг 2: Разложение на множители

Теперь мы можем разложить выражение \( 81x^2 - 16 \) с помощью формулы разности квадратов: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] Здесь \( a = 9x \) и \( b = 4 \) (так как \( \sqrt{81} = 9 \) и \( \sqrt{16} = 4 \)): \[ 81x^2 - 16 = (9x - 4)(9x + 4) \]

Шаг 3: Решение неравенства

Теперь у нас есть: \[ (9x - 4)(9x + 4) \geq 0 \] Мы должны определить, когда произведение этих двух множителей больше или равно нулю. Для этого найдем корни неравенства.

Корни:

1. \( 9x - 4 = 0 \) дает \( x = \frac{4}{9} \)
2. \( 9x + 4 = 0 \) дает \( x = -\frac{4}{9} \)

Шаг 4: Определение знаков

Теперь мы можем разделить числовую прямую на интервалы на основе найденных корней:

• Интервал 1: \( (-\infty, -\frac{4}{9}) \)
• Интервал 2: \( (-\frac{4}{9}, \frac{4}{9}) \)
• Интервал 3: \( (\frac{4}{9}, +\infty) \)

Теперь проверим знак произведения \( (9x - 4)(9x + 4) \) на каждом интервале:

1. Для \( x < -\frac{4}{9} \) (например, \( x = -1 \)): \[ (9(-1) - 4)(9(-1) + 4) = (-9 - 4)(-9 + 4) = (-13)(-5) > 0 \]

2. Для \( -\frac{4}{9} < x < \frac{4}{9} \) (например, \( x = 0 \)): \[ (9(0) - 4)(9(0) + 4) = (-4)(4) < 0 \]

3. Для \( x > \frac{4}{9} \) (например, \( x = 1 \)): \[ (9(1) - 4)(9(1) + 4) = (5)(13) > 0 \]

Шаг 5: Объединение результатов

Неравенство \( (9x - 4)(9x + 4) \geq 0 \) выполняется для интервалов:

• \( (-\infty, -\frac{4}{9}] \)
• \( [\frac{4}{9}, +\infty) \)

Ответ

Таким образом, решением неравенства \( 81x^2 \geq 16 \) являются \( x \leq -\frac{4}{9} \) или \( x \geq \frac{4}{9} \).

Итоговое решение: \[ x \in (-\infty, -\frac{4}{9}] \cup [\frac{4}{9}, +\infty) \]