3^log9(5x-5)=5

Давайте рассмотрим уравнение \( 3^{\log_9(5x - 5)} = 5 \) и решим его шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразование логарифма

Сначала мы заметим, что \( \log_9(5x - 5) \) можно выразить через логарифмы с основанием 3, поскольку 9 — это \( 3^2 \). Используем формулу смены основания логарифма:

\[ \log_9(a) = \frac{\log_3(a)}{\log_3(9)} = \frac{\log_3(a)}{2} \]

Таким образом, наше уравнение можно переписать:

\[ 3^{\frac{\log_3(5x - 5)}{2}} = 5 \]

Шаг 2: Убрать степень с логарифмом

Мы можем избавить уравнение от степени, возведя обе стороны в степень 2:

\[ 3^{\log_3(5x - 5)} = 5^2 \]

Согласно свойству логарифмов, \( 3^{\log_3(a)} = a \). Применим это:

\[ 5x - 5 = 25 \]

Шаг 3: Решение полученного линейного уравнения

Теперь решим простое линейное уравнение:

\[ 5x - 5 = 25 \]

Чтобы избавиться от -5, добавим 5 к обеим сторонам уравнения:

\[ 5x = 30 \]

Теперь разделим обе стороны на 5:

\[ x = 6 \]

Шаг 4: Проверка ответа

Давайте проверим наш ответ, подставив \( x = 6 \) обратно в оригинальное уравнение:

\[ 3^{\log_9(5 \times 6 - 5)} = 3^{\log_9(30 - 5)} = 3^{\log_9(25)} \]

Теперь, используя то, что \( \log_9(25) = \frac{\log_3(25)}{2} \):

\[ 3^{\frac{\log_3(25)}{2}} = 5 \quad (\text{так как } 25 = 5^2) \]

Возводим обе стороны в квадрат:

\[ 3^{\log_3(25)} = 25 \]

И это верно, поскольку \( 3^{\log_3(25)} = 25 \).

Ответ:

Таким образом, решение нашего уравнения:

\[ x = 6 \]

Если есть еще вопросы или требуется объяснение других задач, не стесняйтесь задавать!