При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Для решения вашей задачи мы будем использовать биномиальное распределение. В данном случае:

• \( n = 20 \) — общее число выстрелов,
• \( p = 0.9 \) — вероятность успеха (поражения цели) за один выстрел.

Мы ищем вероятность того, что число удачных выстрелов \( X \) будет в пределах от 16 до 19 включительно, т.е. \( P(16 \leq X \leq 19) \).

Проще всего это сделать, вычислив каждую вероятность отдельно и затем сложив их:

\[ P(16 \leq X \leq 19) = P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) \]

Вероятность того, что ровно \( k \) выстрелов окажется удачными, можно вычислить по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь давайте посчитаем каждую из вероятностей:

1. Для \( X = 16 \): \[ P(X = 16) = C(20, 16) \cdot (0.9)^{16} \cdot (0.1)^{4} \] \[ C(20, 16) = C(20, 4) = \frac{20!}{4! \cdot 16!} = 4845 \] \[ P(X = 16) = 4845 \cdot (0.9)^{16} \cdot (0.1)^{4} \] \[ P(X = 16) \approx 4845 \cdot 0.135085171767299 \cdot 0.0001 \approx 0.0655 \]

2. Для \( X = 17 \): \[ P(X = 17) = C(20, 17) \cdot (0.9)^{17} \cdot (0.1)^{3} \] \[ C(20, 17) = C(20, 3) = \frac{20!}{3! \cdot 17!} = 1140 \] \[ P(X = 17) = 1140 \cdot (0.9)^{17} \cdot (0.1)^{3} \] \[ P(X = 17) \approx 1140 \cdot 0.121576654590569 \cdot 0.001 \approx 0.1382 \]

3. Для \( X = 18 \): \[ P(X = 18) = C(20, 18) \cdot (0.9)^{18} \cdot (0.1)^{2} \] \[ C(20, 18) = C(20, 2) = \frac{20!}{2! \cdot 18!} = 190 \] \[ P(X = 18) = 190 \cdot (0.9)^{18} \cdot (0.1)^{2} \] \[ P(X = 18) \approx 190 \cdot 0.109418989131512 \cdot 0.01 \approx 0.2079 \]

4. Для \( X = 19 \): \[ P(X = 19) = C(20, 19) \cdot (0.9)^{19} \cdot (0.1)^{1} \] \[ C(20, 19) = C(20, 1) = 20 \] \[ P(X = 19) = 20 \cdot (0.9)^{19} \cdot (0.1)^{1} \] \[ P(X = 19) \approx 20 \cdot 0.0984151267417657 \cdot 0.1 \approx 0.1968 \]

Теперь складываем все полученные вероятности:

\[ P(16 \leq X \leq 19) = P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) \] \[ P(16 \leq X \leq 19) \approx 0.0655 + 0.1382 + 0.2079 + 0.1968 \approx 0.6084 \]

Таким образом, вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19, составляет примерно 0.6084 или 60.84%.