При некотором значении p квадратные уравнения x² + (P - 1)X - ( p + 2) = 0 и x² +( P + 2)x + 2p - 1 = 0 имеют общий корень. тогда 6 × p сколько будет равно?

Чтобы решить задачу, в которой нужно найти значение \(6 \times p\) при условии, что два квадратных уравнения имеют общий корень, давайте пошагово разберем каждое уравнение. ### Шаг 1: Определяем уравнения Даны два уравнения: 1. \(x^2 + (p - 1)x - (p + 2) = 0\) 2. \(x^2 + (p + 2)x + (2p - 1) = 0\) ### Шаг 2: Обозначаем общий корень Пусть общий корень, который есть у обоих уравнений, обозначим как \(x_0\). ### Шаг 3: Подставляем корень в уравнения Так как \(x_0\) является корнем первого уравнения, мы можем написать: \[ x_0^2 + (p - 1)x_0 - (p + 2) = 0 \] А для второго уравнения: \[ x_0^2 + (p + 2)x_0 + (2p - 1) = 0 \] ### Шаг 4: Выразим \(x_0^2\) Из первого уравнения выразим \(x_0^2\): \[ x_0^2 = -(p - 1)x_0 + (p + 2) \] Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[ -(p - 1)x_0 + (p + 2) + (p + 2)x_0 + (2p - 1) = 0 \] ### Шаг 5: Упрощаем второе уравнение Упрощаем: \[ -(p - 1)x_0 + (p + 2)x_0 + (p + 2) + (2p - 1) = 0 \] Объединим \(x_0\): \[ \Bigl(-(p - 1) + (p + 2)\Bigr)x_0 + (p + 2 + 2p - 1) = 0 \] \[ (3)x_0 + (3p + 1) = 0 \] ### Шаг 6: Решаем для \(x_0\) Теперь у нас есть: \[ 3x_0 + 3p + 1 = 0 \] Из этого уравнения получаем: \[ x_0 = -p - \frac{1}{3} \] ### Шаг 7: Используем значение для нахождения \(p\) Теперь подставляем \(x_0\) обратно в одно из уравнений, чтобы найти \(p\). Лучше всего подставить в первое уравнение: \[ (-p - \frac{1}{3})^2 + (p - 1)(-p - \frac{1}{3}) - (p + 2) = 0 \] ### Шаг 8: Раскрываем и упрощаем уравнение Раскрываем квадрат и перемножаем: \[ (p^2 + \frac{2p}{3} + \frac{1}{9}) + (-p^2 + p + \frac{1}{3}) - (p + 2) = 0 \] Объединяем все: \[ \frac{2p}{3} + \frac{1}{9} + p - p - 2 + \frac{1}{3} = 0 \] Собираем всё в одно уравнение и находим \(p\). ### Шаг 9: Решение для \(p\) Упрощаем: \[ \frac{2p}{3} - 2 + \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = 0 \] Приводим к общему знаменателю, решаем уравнение для нахождения \(p\). Посчитаем: 1. Приводим к общему знаменателю: - \(\frac{2p}{3} = \frac{2p \cdot 3}{9} = \frac{6p}{9}\) 2. Подставляем: \[ \frac{6p - 18 + 1 + 3}{9} = 0 \Rightarrow 6p - 14 = 0 \Rightarrow 6p = 14 \Rightarrow p = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \] ### Шаг 10: Находим 6 × p Теперь можем найти \(6 \times p\): \[ 6 \times p = 6 \times \frac{7}{3} = 14 \] Таким образом, ответ: \[ \boxed{14} \]