При некотором значении p квадратные уравнения x² + (P - 1)X - ( p + 2) = 0 и x² +( P + 2)x + 2p - 1 = 0 имеют общий корень. тогда 6 × p сколько будет равно?

Чтобы решить задачу, в которой нужно найти значение \(6 \times p\) при условии, что два квадратных уравнения имеют общий корень, давайте пошагово разберем каждое уравнение.

Шаг 1: Определяем уравнения

Даны два уравнения:

1. \(x^2 + (p - 1)x - (p + 2) = 0\)
2. \(x^2 + (p + 2)x + (2p - 1) = 0\)

Шаг 2: Обозначаем общий корень

Пусть общий корень, который есть у обоих уравнений, обозначим как \(x_0\).

Шаг 3: Подставляем корень в уравнения

Так как \(x_0\) является корнем первого уравнения, мы можем написать:

\[ x_0^2 + (p - 1)x_0 - (p + 2) = 0 \]

А для второго уравнения:

\[ x_0^2 + (p + 2)x_0 + (2p - 1) = 0 \]

Шаг 4: Выразим \(x_0^2\)

Из первого уравнения выразим \(x_0^2\):

\[ x_0^2 = -(p - 1)x_0 + (p + 2) \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[ -(p - 1)x_0 + (p + 2) + (p + 2)x_0 + (2p - 1) = 0 \]

Шаг 5: Упрощаем второе уравнение

Упрощаем:

\[ -(p - 1)x_0 + (p + 2)x_0 + (p + 2) + (2p - 1) = 0 \]

Объединим \(x_0\):

\[ \Bigl(-(p - 1) + (p + 2)\Bigr)x_0 + (p + 2 + 2p - 1) = 0 \]

\[ (3)x_0 + (3p + 1) = 0 \]

Шаг 6: Решаем для \(x_0\)

Теперь у нас есть:

\[ 3x_0 + 3p + 1 = 0 \]

Из этого уравнения получаем:

\[ x_0 = -p - \frac{1}{3} \]

Шаг 7: Используем значение для нахождения \(p\)

Теперь подставляем \(x_0\) обратно в одно из уравнений, чтобы найти \(p\). Лучше всего подставить в первое уравнение:

\[ (-p - \frac{1}{3})^2 + (p - 1)(-p - \frac{1}{3}) - (p + 2) = 0 \]

Шаг 8: Раскрываем и упрощаем уравнение

Раскрываем квадрат и перемножаем:

\[ (p^2 + \frac{2p}{3} + \frac{1}{9}) + (-p^2 + p + \frac{1}{3}) - (p + 2) = 0 \]

Объединяем все:

\[ \frac{2p}{3} + \frac{1}{9} + p - p - 2 + \frac{1}{3} = 0 \]

Собираем всё в одно уравнение и находим \(p\).

Шаг 9: Решение для \(p\)

Упрощаем:

\[ \frac{2p}{3} - 2 + \frac{1}{9} + \frac{1}{3} = 0 \]

Приводим к общему знаменателю, решаем уравнение для нахождения \(p\).

Посчитаем:

1. Приводим к общему знаменателю:

   • \(\frac{2p}{3} = \frac{2p \cdot 3}{9} = \frac{6p}{9}\)

2. Подставляем:

\[ \frac{6p - 18 + 1 + 3}{9} = 0 \Rightarrow 6p - 14 = 0 \Rightarrow 6p = 14 \Rightarrow p = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \]

Шаг 10: Находим 6 × p

Теперь можем найти \(6 \times p\):

\[ 6 \times p = 6 \times \frac{7}{3} = 14 \]

Таким образом, ответ:

\[ \boxed{14} \]