3(x-1)(x-5)=2x2-10x
Чтобы решить уравнение \(3(x-1)(x-5) = 2x^2 - 10x\), давайте разберёмся с каждым шагом.
Шаг 1: Раскроем левую часть уравнения
Левая часть уравнения у нас выглядит так:
\[ 3(x-1)(x-5) \]
Сначала раскроем скобки. Для этого сначала множим \( (x-1)(x-5) \):
\[ (x-1)(x-5) = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5 \]
Теперь умножим результат на 3:
\[ 3(x^2 - 6x + 5) = 3x^2 - 18x + 15 \]
Теперь левая часть уравнения выглядит так:
\[ 3x^2 - 18x + 15 \]
Шаг 2: Запишем уравнение в стандартном виде
Теперь подставим полученное выражение в уравнение:
\[ 3x^2 - 18x + 15 = 2x^2 - 10x \]
Теперь перенесём все элементы на одну сторону уравнения, чтобы получить 0:
\[ 3x^2 - 18x + 15 - 2x^2 + 10x = 0 \]
Упростим:
\[ (3x^2 - 2x^2) + (-18x + 10x) + 15 = 0 \]
Это даёт нам:
\[ x^2 - 8x + 15 = 0 \]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение
Теперь у нас есть квадратное уравнение \(x^2 - 8x + 15 = 0\). Мы можем решить его с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где:
- \(a = 1\)
- \(b = -8\)
- \(c = 15\)
Сначала находим дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 2}{2} \]
Это даёт нам два решения:
- \(x_1 = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5\)
- \(x_2 = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Шаг 4: Проверка корней
Чтобы убедиться в правильности решений, подставим \(x = 5\) и \(x = 3\) обратно в исходное уравнение.
Для \(x = 5\):
Левая часть: \[ 3(5-1)(5-5) = 3(4)(0) = 0 \]
Правая часть: \[ 2(5^2) - 10(5) = 2(25) - 50 = 50 - 50 = 0 \]
Для \(x = 3\):
Левая часть: \[ 3(3-1)(3-5) = 3(2)(-2) = -12 \]
Правая часть: \[ 2(3^2) - 10(3) = 2(9) - 30 = 18 - 30 = -12 \]
Ответ
Оба корня \(x = 3\) и \(x = 5\) удовлетворяют уравнению.
Таким образом, окончательные решения:
\[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = 5 \]
