3(x-1)(x-5)=2x2-10x

Чтобы решить уравнение \(3(x-1)(x-5) = 2x^2 - 10x\), давайте разберёмся с каждым шагом. ### Шаг 1: Раскроем левую часть уравнения Левая часть уравнения у нас выглядит так: \[ 3(x-1)(x-5) \] Сначала раскроем скобки. Для этого сначала множим \( (x-1)(x-5) \): \[ (x-1)(x-5) = x^2 - 5x - x + 5 = x^2 - 6x + 5 \] Теперь умножим результат на 3: \[ 3(x^2 - 6x + 5) = 3x^2 - 18x + 15 \] Теперь левая часть уравнения выглядит так: \[ 3x^2 - 18x + 15 \] ### Шаг 2: Запишем уравнение в стандартном виде Теперь подставим полученное выражение в уравнение: \[ 3x^2 - 18x + 15 = 2x^2 - 10x \] Теперь перенесём все элементы на одну сторону уравнения, чтобы получить 0: \[ 3x^2 - 18x + 15 - 2x^2 + 10x = 0 \] Упростим: \[ (3x^2 - 2x^2) + (-18x + 10x) + 15 = 0 \] Это даёт нам: \[ x^2 - 8x + 15 = 0 \] ### Шаг 3: Решим квадратное уравнение Теперь у нас есть квадратное уравнение \(x^2 - 8x + 15 = 0\). Мы можем решить его с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где: - \(a = 1\) - \(b = -8\) - \(c = 15\) Сначала находим дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \] Теперь подставим значения в формулу: \[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 2}{2} \] Это даёт нам два решения: 1. \(x_1 = \frac{8 + 2}{2} = \frac{10}{2} = 5\) 2. \(x_2 = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\) ### Шаг 4: Проверка корней Чтобы убедиться в правильности решений, подставим \(x = 5\) и \(x = 3\) обратно в исходное уравнение. **Для \(x = 5\):** Левая часть: \[ 3(5-1)(5-5) = 3(4)(0) = 0 \] Правая часть: \[ 2(5^2) - 10(5) = 2(25) - 50 = 50 - 50 = 0 \] **Для \(x = 3\):** Левая часть: \[ 3(3-1)(3-5) = 3(2)(-2) = -12 \] Правая часть: \[ 2(3^2) - 10(3) = 2(9) - 30 = 18 - 30 = -12 \] ### Ответ Оба корня \(x = 3\) и \(x = 5\) удовлетворяют уравнению. Таким образом, окончательные решения: \[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = 5 \]