В годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 2 задания. Ваня…

Для решения задачи о вероятности успешного прохождения контрольной работы Вани, воспользуемся формулой для вычисления вероятности успешного исхода в биномиальном распределении.

Имейте в виду:

• Количество задач (n) = 5 (задач).
• Количество правильных ответов для успешного прохождения (k) = 2 (или более).
• Вероятность угадать правильный ответ на одну задачу (p) = 1/4.
• Вероятность не угадать правильный ответ на одну задачу (q) = 1 - p = 3/4.

Теперь нам нужно найти вероятность того, что Ваня решит верно хотя бы 2 задания из 5. Это можно выразить как сумму вероятностей того, что Ваня решит верно 2, 3, 4 или 5 заданий. Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который равен количеству способов выбрать k успешных исходов из n;
• \( p^k \) — вероятность успешных исходов;
• \( q^{(n-k)} \) — вероятность неуспешных исходов.

1. Вычисляем вероятность для каждого значения k:

• Для k = 2: \[ P(X = 2) = C(5, 2) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{3} \] \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] \[ P(X = 2) = 10 \cdot \left(\frac{1}{16}\right) \cdot \left(\frac{27}{64}\right) = 10 \cdot \frac{27}{1024} = \frac{270}{1024} \]

• Для k = 3: \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2} \] \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10 \] \[ P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{64}\right) \cdot \left(\frac{9}{16}\right) = 10 \cdot \frac{9}{1024} = \frac{90}{1024} \]

• Для k = 4: \[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{1} \] \[ C(5, 4) = 5 \] \[ P(X = 4) = 5 \cdot \left(\frac{1}{256}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right) = 5 \cdot \frac{3}{1024} = \frac{15}{1024} \]

• Для k = 5: \[ P(X = 5) = C(5, 5) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{0} \] \[ C(5, 5) = 1 \] \[ P(X = 5) = 1 \cdot \left(\frac{1}{1024}\right) \cdot 1 = \frac{1}{1024} \]

2. Суммируем вероятности: Теперь найдем вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу, т.е. он решит 2 или более задач правильно:

\[ P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) \] \[ P(X \geq 2) = \frac{270}{1024} + \frac{90}{1024} + \frac{15}{1024} + \frac{1}{1024} = \frac{376}{1024} \]

3. Упрощаем и округляем: \[ P(X \geq 2) = \frac{376}{1024} = \frac{47}{128} \approx 0.3671875 \]

Округляя до сотых, получаем:

\[ P(X \geq 2) \approx 0.37 \]

Таким образом, вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу, составляет 0.37.