Для решения задачи о вероятности успешного прохождения контрольной работы Вани, воспользуемся формулой для вычисления вероятности успешного исхода в биномиальном распределении.
Имейте в виду:
- Количество задач (n) = 5 (задач).
- Количество правильных ответов для успешного прохождения (k) = 2 (или более).
- Вероятность угадать правильный ответ на одну задачу (p) = 1/4.
- Вероятность не угадать правильный ответ на одну задачу (q) = 1 - p = 3/4.
Теперь нам нужно найти вероятность того, что Ваня решит верно хотя бы 2 задания из 5. Это можно выразить как сумму вероятностей того, что Ваня решит верно 2, 3, 4 или 5 заданий. Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит так:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)}
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, который равен количеству способов выбрать k успешных исходов из n;
- ( p^k ) — вероятность успешных исходов;
- ( q^{(n-k)} ) — вероятность неуспешных исходов.
1. Вычисляем вероятность для каждого значения k:
Для k = 2:
[
P(X = 2) = C(5, 2) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{3}
]
[
C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
]
[
P(X = 2) = 10 \cdot \left(\frac{1}{16}\right) \cdot \left(\frac{27}{64}\right) = 10 \cdot \frac{27}{1024} = \frac{270}{1024}
]
Для k = 3:
[
P(X = 3) = C(5, 3) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2}
]
[
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10
]
[
P(X = 3) = 10 \cdot \left(\frac{1}{64}\right) \cdot \left(\frac{9}{16}\right) = 10 \cdot \frac{9}{1024} = \frac{90}{1024}
]
Для k = 4:
[
P(X = 4) = C(5, 4) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{1}
]
[
C(5, 4) = 5
]
[
P(X = 4) = 5 \cdot \left(\frac{1}{256}\right) \cdot \left(\frac{3}{4}\right) = 5 \cdot \frac{3}{1024} = \frac{15}{1024}
]
Для k = 5:
[
P(X = 5) = C(5, 5) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{0}
]
[
C(5, 5) = 1
]
[
P(X = 5) = 1 \cdot \left(\frac{1}{1024}\right) \cdot 1 = \frac{1}{1024}
]
2. Суммируем вероятности:
Теперь найдем вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу, т.е. он решит 2 или более задач правильно:
[
P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
]
[
P(X \geq 2) = \frac{270}{1024} + \frac{90}{1024} + \frac{15}{1024} + \frac{1}{1024} = \frac{376}{1024}
]
3. Упрощаем и округляем:
[
P(X \geq 2) = \frac{376}{1024} = \frac{47}{128} \approx 0.3671875
]
Округляя до сотых, получаем:
[
P(X \geq 2) \approx 0.37
]
Таким образом, вероятность того, что Ваня не пойдет на пересдачу, составляет 0.37.
