Х²+у²=10 х+2у=5

Для решения системы уравнений: 1. \( x^2 + y^2 = 10 \) 2. \( x + 2y = 5 \) попробуем использовать метод подстановки. Это значит, что мы сначала выразим одну переменную через другую в одном из уравнений, а затем подставим это выражение во второе уравнение. ### Шаг 1: Решение второго уравнения относительно \( x \) Из второго уравнения выразим \( x \): \[ x = 5 - 2y \] ### Шаг 2: Подстановка выражения в первое уравнение Теперь подставим \( x = 5 - 2y \) в первое уравнение \( x^2 + y^2 = 10 \): \[ (5 - 2y)^2 + y^2 = 10 \] ### Шаг 3: Раскроем скобки Раскроем квадрат: \[ (25 - 20y + 4y^2) + y^2 = 10 \] Объединим все члены: \[ 25 - 20y + 4y^2 + y^2 = 10 \] ### Шаг 4: Приведение подобных Соберём все члены в одном уравнении: \[ 25 - 20y + 5y^2 - 10 = 0 \] Упростим уравнение: \[ 5y^2 - 20y + 15 = 0 \] ### Шаг 5: Деление на 5 Можно разделить всё уравнение на 5 для упрощения: \[ y^2 - 4y + 3 = 0 \] ### Шаг 6: Решение квадратного уравнения Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу корней: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -4, c = 3 \): \[ y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[ y = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ y = \frac{4 \pm 2}{2} \] Отсюда получаем два значения: 1. \( y = \frac{6}{2} = 3 \) 2. \( y = \frac{2}{2} = 1 \) ### Шаг 7: Находим \( x \) Теперь подставим найденные значения \( y \) обратно в уравнение для \( x \). #### Для \( y = 3 \): \[ x = 5 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1 \] #### Для \( y = 1 \): \[ x = 5 - 2 \cdot 1 = 5 - 2 = 3 \] ### Заключение: Решения системы уравнений Таким образом, мы получили два решения для нашей системы: 1. \( (x, y) = (-1, 3) \) 2. \( (x, y) = (3, 1) \) ### Проверка Мы можем проверить эти результаты, подставляя их обратно в начальные уравнения: 1. Для \((-1, 3)\): - \( (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \) (выполняется) - \( -1 + 2 \cdot 3 = -1 + 6 = 5 \) (выполняется) 2. Для \((3, 1)\): - \( 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10 \) (выполняется) - \( 3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5 \) (выполняется) Таким образом, оба решения верны.