х²+у²=10 х+2у=5
Для решения системы уравнений:
- \( x^2 + y^2 = 10 \)
- \( x + 2y = 5 \)
попробуем использовать метод подстановки. Это значит, что мы сначала выразим одну переменную через другую в одном из уравнений, а затем подставим это выражение во второе уравнение.
Шаг 1: Решение второго уравнения относительно \( x \)
Из второго уравнения выразим \( x \):
\[ x = 5 - 2y \]
Шаг 2: Подстановка выражения в первое уравнение
Теперь подставим \( x = 5 - 2y \) в первое уравнение \( x^2 + y^2 = 10 \):
\[ (5 - 2y)^2 + y^2 = 10 \]
Шаг 3: Раскроем скобки
Раскроем квадрат:
\[ (25 - 20y + 4y^2) + y^2 = 10 \]
Объединим все члены:
\[ 25 - 20y + 4y^2 + y^2 = 10 \]
Шаг 4: Приведение подобных
Соберём все члены в одном уравнении:
\[ 25 - 20y + 5y^2 - 10 = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ 5y^2 - 20y + 15 = 0 \]
Шаг 5: Деление на 5
Можно разделить всё уравнение на 5 для упрощения:
\[ y^2 - 4y + 3 = 0 \]
Шаг 6: Решение квадратного уравнения
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1, b = -4, c = 3 \):
\[ y = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \]
\[ y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \]
\[ y = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \]
\[ y = \frac{4 \pm 2}{2} \]
Отсюда получаем два значения:
- \( y = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( y = \frac{2}{2} = 1 \)
Шаг 7: Находим \( x \)
Теперь подставим найденные значения \( y \) обратно в уравнение для \( x \).
Для \( y = 3 \):
\[ x = 5 - 2 \cdot 3 = 5 - 6 = -1 \]
Для \( y = 1 \):
\[ x = 5 - 2 \cdot 1 = 5 - 2 = 3 \]
Заключение: Решения системы уравнений
Таким образом, мы получили два решения для нашей системы:
- \( (x, y) = (-1, 3) \)
- \( (x, y) = (3, 1) \)
Проверка
Мы можем проверить эти результаты, подставляя их обратно в начальные уравнения:
Для \((-1, 3)\):
- \( (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10 \) (выполняется)
- \( -1 + 2 \cdot 3 = -1 + 6 = 5 \) (выполняется)
Для \((3, 1)\):
- \( 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10 \) (выполняется)
- \( 3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5 \) (выполняется)
Таким образом, оба решения верны.
