вычислить площадь фигуры ограниченной линией
Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми \( y = x^2 + x - 4 \) и \( y = 6 - x^2 \), нужно следовать алгоритму:
Найти точки пересечения кривых:
Для этого решим уравнение \( x^2 + x - 4 = 6 - x^2 \).
Переносим все члены в одну сторону: \[ x^2 + x - 4 - 6 + x^2 = 0 \] \[ 2x^2 + x - 10 = 0 \]
Используем дискриминант для нахождения корней квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81 \]
Найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 9}{4} \]
\[ x_1 = \frac{8}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{-10}{4} = -2.5 \]
Вычислить определенный интеграл:
Площадь между кривыми вычисляется как разность интегралов верхней и нижней функций на отрезке \([-2.5, 2]\):
\[ A = \int_{-2.5}^{2} ((6 - x^2) - (x^2 + x - 4)) \, dx \] \[ = \int_{-2.5}^{2} (10 - 2x^2 - x) \, dx \]
Теперь сосчитаем интеграл: \[ = \left[ 10x - \frac{2}{3}x^3 - \frac{x^2}{2} \right]_{-2.5}^{2} \]
Подставим пределы: \[ = \left( 10 \cdot 2 - \frac{2}{3} \cdot 2^3 - \frac{2^2}{2} \right) - \left( 10 \cdot (-2.5) - \frac{2}{3} \cdot (-2.5)^3 - \frac{(-2.5)^2}{2} \right) \]
Посчитаем значения: \[ = (20 - \frac{16}{3} - 2) - (-25 + \frac{2 \cdot 15.625}{3} - 3.125) \]
Упростим: \[ = (18 - \frac{16}{3}) - (-25 + \frac{31.25}{3} - 3.125) \]
\[ = (18 - 5.33) - (-25 + 10.42 - 3.125) \]
\[ = 12.67 + 17.295 \]
\[ = 29.965 \]
Таким образом, приблизительная площадь фигуры равна \(29.965\) квадратных единиц.
