постройте график функции y=-x²-4x-3 используя график найдите промежутки возрастания и убывания
Для построения графика функции \( y = -x^2 - 4x - 3 \) и определения промежутков возрастания и убывания, следуем поэтапно:
1. Исследование функции
Функция \( y = -x^2 - 4x - 3 \) является квадратной (параболой) и имеет вид:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
где \( a = -1 \), \( b = -4 \), \( c = -3 \).
Поскольку \( a < 0 \), парабола направлена вниз.
2. Нахождение координат вершины параболы
Вершина параболы (максимум, так как парабола направлена вниз) находится по формуле:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_v = -\frac{-4}{2 \cdot -1} = \frac{4}{-2} = -2 \]
Теперь подставим \( x_v \) обратно в уравнение функции, чтобы найти \( y_v \):
\[ y_v = -(-2)^2 - 4 \cdot (-2) - 3 \\ y_v = -4 + 8 - 3 = 1 \]
Таким образом, координаты вершины: \( (-2, 1) \).
3. Нахождение нулей функции
Чтобы найти нули функции (точки, где график пересекает ось X), решим уравнение:
\[ -x^2 - 4x - 3 = 0 \]
Умножим на -1:
\[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]
Теперь можно использовать дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Корни находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 2}{2} \\ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \]
Таким образом, нули функции: \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -3 \).
4. Построение графика
На основе найденных вершин и нулей можно построить график функции:
- Вершина: \( (-2, 1) \)
- Нули: \( (-1, 0) \) и \( (-3, 0) \)
5. Определение промежутков возрастания и убывания
- Функция убывает на интервале \( (-\infty, -2) \) (до вершины).
- Функция возрастает на интервале \( (-2, -\infty) \) (после вершины).
Таким образом, мы можем записать результаты:
- Функция \( y = -x^2 - 4x - 3 \) убывает на интервале \( (-\infty, -2) \) и возрастает на интервале \( (-2, -\infty) \).
График функции
Для графика функции можно использовать графический калькулятор, чтобы визуально подтвердить эти результаты.
Итог
- Вершина функции: \( (-2, 1) \)
- Нули функции: \( -3 \) и \( -1 \)
- Промежутки:
- Убывает на \( (-\infty, -2) \)
- Возрастает на \( (-2, -\infty) \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, дайте знать!
