реши 12 номер

Для решения задания номер 12 необходимо найти точку максимума функции \( y = (34 - x)e^{x-34} \).

Шаги решения:

1. Найдем производную функции \( y = (34 - x)e^{x-34} \).

   Это произведение двух функций, поэтому используем правило произведения:

   \[ u = 34 - x, \quad v = e^{x-34} \]

   Производные:

   \[ u' = -1, \quad v' = e^{x-34} \]

   Производная произведения:

   \[ y' = u'v + uv' = (-1)e^{x-34} + (34 - x)e^{x-34} \cdot e^{x-34} \]

   Упростим:

   \[ y' = -(e^{x-34}) + (34 - x)e^{x-34} \]

   \[ y' = (34 - x - 1) e^{x-34} \]

   \[ y' = (33 - x) e^{x-34} \]

2. Найдем критические точки:

   Критические точки находятся из условия \( y' = 0 \):

   \[ (33 - x) e^{x-34} = 0 \]

   Поскольку \( e^{x-34} \neq 0 \), достаточно решить:

   \[ 33 - x = 0 \]

   \[ x = 33 \]

3. Проверим, является ли эта точка точкой максимума:

   Для этого анализируем знак производной \( y' \).

   • При \( x < 33 \), \( y' = (33 - x) e^{x-34} > 0 \) (функция растет).
   • При \( x > 33 \), \( y' = (33 - x) e^{x-34} < 0 \) (функция убывает).

   Таким образом, \( x = 33 \) — это точка максимума.

4. Найдем значение функции в точке максимума:

   Подставим \( x = 33 \) в исходную функцию:

   \[ y = (34 - 33)e^{33-34} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \]

Таким образом, точка максимума функции — это \( x = 33 \), а значение функции в этой точке равно \( \frac{1}{e} \).