Реши 12 номер

Для решения задания номер 12 необходимо найти точку максимума функции \( y = (34 - x)e^{x-34} \). ### Шаги решения: 1. **Найдем производную функции** \( y = (34 - x)e^{x-34} \). Это произведение двух функций, поэтому используем правило произведения: \[ u = 34 - x, \quad v = e^{x-34} \] Производные: \[ u' = -1, \quad v' = e^{x-34} \] Производная произведения: \[ y' = u'v + uv' = (-1)e^{x-34} + (34 - x)e^{x-34} \cdot e^{x-34} \] Упростим: \[ y' = -(e^{x-34}) + (34 - x)e^{x-34} \] \[ y' = (34 - x - 1) e^{x-34} \] \[ y' = (33 - x) e^{x-34} \] 2. **Найдем критические точки**: Критические точки находятся из условия \( y' = 0 \): \[ (33 - x) e^{x-34} = 0 \] Поскольку \( e^{x-34} \neq 0 \), достаточно решить: \[ 33 - x = 0 \] \[ x = 33 \] 3. **Проверим, является ли эта точка точкой максимума**: Для этого анализируем знак производной \( y' \). - При \( x < 33 \), \( y' = (33 - x) e^{x-34} > 0 \) (функция растет). - При \( x > 33 \), \( y' = (33 - x) e^{x-34} < 0 \) (функция убывает). Таким образом, \( x = 33 \) — это точка максимума. 4. **Найдем значение функции в точке максимума**: Подставим \( x = 33 \) в исходную функцию: \[ y = (34 - 33)e^{33-34} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \] Таким образом, точка максимума функции — это \( x = 33 \), а значение функции в этой точке равно \( \frac{1}{e} \).