Решите уравнения
Решим уравнения по порядку, с пояснениями.
1) \(\sin x = \frac{1}{2}\)
Известно, что \(\sin x = \frac{1}{2}\) при углах \(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
- \(\frac{\pi}{6}\) — угол первой четверти.
- \(\frac{5\pi}{6}\) — угол второй четверти.
Таким образом, решение: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z}. \]
2) \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Значение \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) соответствует углам в третьей и четвертой четвертях тригонометрической окружности:
- В третьей четверти: \(x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\).
- В четвертой четверти: \(x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi\).
Таким образом, решение: \[ x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \] \[ x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z}. \]
3) \(\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}\)
Здесь \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) — значение, которое лежит в пределах от \(-1\) до \(1\), поэтому решение уравнения возможно.
В общем виде: значение \(\sin y = \frac{\sqrt{5}}{3}\) не соответствует стандартным углам, поэтому используем арксинус:
\[ x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) + 2k\pi \] \[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) + 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z}. \]
4) \(\sin x = 1.5\)
Значение \(\sin x = 1.5\) превышает максимальное возможное значение синуса, которое равно \(1\). Следовательно, решения у этого уравнения нет.
Таким образом, уравнение не имеет решений.
