Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, поскольку у нас есть фиксированное количество испытаний (в данном случае 5 мишеней), каждая из которых имеет два исхода (попадание или промах).
Давайте обозначим:
- (n = 5) — количество мишеней,
- (k = 4) — количество попадаемых мишеней,
- (p = 0.7) — вероятность попадания в мишень,
- (q = 1 - p = 0.3) — вероятность промаха.
Формула для расчета вероятности в биномиальном распределении выглядит так:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)},
]
где (C(n, k)) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить как:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
]
Теперь подставим наши значения в формулу.
- Вычислим биномиальный коэффициент (C(5, 4)):
[
C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1!} = 5.
]
- Теперь подставим значения в формулу для вероятности:
[
P(X = 4) = C(5, 4) \cdot p^4 \cdot q^{(5-4)} = 5 \cdot (0.7)^4 \cdot (0.3)^1.
]
- Посчитаем ( (0.7)^4 ):
[
(0.7)^4 = 0.2401.
]
- Теперь подставим это значение обратно в формулу:
[
P(X = 4) = 5 \cdot 0.2401 \cdot 0.3.
]
- Посчитаем:
[
P(X = 4) = 5 \cdot 0.2401 \cdot 0.3 = 5 \cdot 0.07203 = 0.36015.
]
Таким образом, вероятность того, что стрелок поразит 4 из 5 мишеней, составляет:
[
\boxed{0.36015}.
]
Это приблизительно 36% вероятности, что стрелок попадёт в 4 мишени из 5.
