В некотором городе проходят соревнования по стрельбе из лука. Каждому спортсмену необходимо поразить 5 мишеней. На каждую мишень дается 2 попытки. Некоторый стрелок попадает в…

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, поскольку у нас есть фиксированное количество испытаний (в данном случае 5 мишеней), каждая из которых имеет два исхода (попадание или промах).

Давайте обозначим:

• \(n = 5\) — количество мишеней,
• \(k = 4\) — количество попадаемых мишеней,
• \(p = 0.7\) — вероятность попадания в мишень,
• \(q = 1 - p = 0.3\) — вероятность промаха.

Формула для расчета вероятности в биномиальном распределении выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)}, \]

где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}. \]

Теперь подставим наши значения в формулу.

1. Вычислим биномиальный коэффициент \(C(5, 4)\):

\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1!} = 5. \]

2. Теперь подставим значения в формулу для вероятности:

\[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot p^4 \cdot q^{(5-4)} = 5 \cdot (0.7)^4 \cdot (0.3)^1. \]

3. Посчитаем \( (0.7)^4 \):

\[ (0.7)^4 = 0.2401. \]

4. Теперь подставим это значение обратно в формулу:

\[ P(X = 4) = 5 \cdot 0.2401 \cdot 0.3. \]

5. Посчитаем:

\[ P(X = 4) = 5 \cdot 0.2401 \cdot 0.3 = 5 \cdot 0.07203 = 0.36015. \]

Таким образом, вероятность того, что стрелок поразит 4 из 5 мишеней, составляет:

\[ \boxed{0.36015}. \]

Это приблизительно 36% вероятности, что стрелок попадёт в 4 мишени из 5.