7x > 14 - 3x >= 12 - 2x <= 0 3x ^ 2 - x + 2 <= 0 2x ^ 2 - 50x >= 0 2x > 18 - x 7x + 3 <= 30 - 2x x ^ 2 + 10x + 25 >= 0 4x ^ 2 - 49 < 0 - 9x ^ 2 + 4x - 2 < 0
Решим каждое неравенство по отдельности, шаг за шагом. Мы будем стараться объяснять каждое действие, чтобы помочь вам лучше понять, как решать подобные задачи.
1. Неравенство: \( 7x > 14 \)
Шаг 1: Изолируем \( x \).
Разделим обе стороны на 7 (поскольку 7 положительное число, знак неравенства остается прежним):
\[
x > \frac{14}{7}
\]
Шаг 2: Упрощаем: \[ x > 2 \]
2. Неравенство: \( 3x \geq 12 \)
Шаг 1: Изолируем \( x \).
Разделим обе стороны на 3:
\[
x \geq \frac{12}{3}
\]
Шаг 2: Упрощаем: \[ x \geq 4 \]
3. Неравенство: \( 2x \leq 0 \)
Шаг 1: Изолируем \( x \).
Разделим обе стороны на 2:
\[
x \leq \frac{0}{2}
\]
Шаг 2: Упрощаем: \[ x \leq 0 \]
4. Неравенство: \( 3x^2 - x + 2 \leq 0 \)
Шаг 1: Найдем дискриминант.
Формула дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \):
\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23
\]
Шаг 2: Поскольку дискриминант отрицательный, то данное квадратное уравнение не имеет действительных корней, следовательно, \( 3x^2 - x + 2 \) всегда > 0.
Таким образом:
\[
3x^2 - x + 2 > 0 \, \text{для всех } x
\]
Значит, неравенство не выполняется.
5. Неравенство: \( 2x^2 - 50x \geq 0 \)
Шаг 1: Вынесем \( 2x \) за скобки: \[ 2x(x - 25) \geq 0 \]
Шаг 2: Находим корни: \( 2x = 0 \) и \( x - 25 = 0 \), или \( x = 0 \) и \( x = 25 \).
Шаг 3: Определим интервалы:
- \( x < 0 \) (здесь произведение отрицательное),
- \( 0 \leq x \leq 25 \) (здесь произведение положительное или ноль),
- \( x > 25 \) (здесь произведение положительное).
Таким образом, решение: \[ x \in [0, 25] \]
6. Неравенство: \( 2x > 18 - x \)
Шаг 1: Переносим \( x \) на LHS: \[ 2x + x > 18 \] \[ 3x > 18 \]
Шаг 2: Делим обе стороны на 3: \[ x > 6 \]
7. Неравенство: \( 7x + 3 \leq 30 - 2x \)
Шаг 1: Переносим все \(x\) на одну сторону и константы на другую: \[ 7x + 2x \leq 30 - 3 \] \[ 9x \leq 27 \]
Шаг 2: Делим обе стороны на 9: \[ x \leq 3 \]
8. Неравенство: \( x^2 + 10x + 25 \geq 0 \)
Шаг 1: Раскроем квадрат: \[ (x + 5)^2 \geq 0 \]
Шаг 2: Поскольку квадрат любого числа не отрицателен, данное неравенство всегда выполняется для всех \(x\): \[ x \in \mathbb{R} \]
9. Неравенство: \( 4x^2 - 49 < 0 \)
Шаг 1: Запишем его в виде разности квадратов: \[ (2x - 7)(2x + 7) < 0 \]
Шаг 2: Находим корни: \( 2x - 7 = 0 \), \( 2x + 7 = 0 \) дает \( x = \frac{7}{2} \) и \( x = -\frac{7}{2} \).
Шаг 3: Определяем знаки на интервалах:
- \( (-\infty, -\frac{7}{2}) \) (положительно)
- \( (-\frac{7}{2}, \frac{7}{2}) \) (отрицательно)
- \( (\frac{7}{2}, \infty) \) (положительно)
Таким образом, решение: \[ x \in \left( -\frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right) \]
10. Неравенство: \( -9x^2 + 4x - 2 < 0 \)
Шаг 1: Найдем дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-2) = 16 - 72 = -56 \] Поскольку дискриминант отрицательный, это неравенство также не имеет действительных корней и всегда выполняется: \[ -9x^2 + 4x - 2 > 0 \, \text{для всех } x \] Таким образом, неравенство не выполняется.
Теперь вы понимаете, как решать линейные и квадратные неравенства шаг за шагом. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
