Y = x - 1/x

Рассмотрим функцию \( y = x - \frac{1}{x} \). Давайте проанализируем её шаг за шагом. ### Шаг 1: Определение функции Эта функция состоит из двух частей: - Линейная часть: \( x \) - Обратная часть: \( -\frac{1}{x} \) Функция определена для всех \( x \), кроме \( x = 0 \), так как в этом случае происходит деление на ноль. ### Шаг 2: Исследование функции 1. **Нахождение производной**: Для понимания поведения функции, найдем её производную. \[ y' = \frac{d}{dx} \left( x - \frac{1}{x} \right) \] Используем правило дифференцирования: \[ y' = 1 + \frac{1}{x^2} \] Производная \( y' \) всегда положительна для \( x > 0 \) и \( x < 0 \) (кроме точки 0). Это значит, что функция монотонно возрастает во всех областях, где она определена. 2. **Нахождение экстремумов**: Чтобы найти, есть ли у функции экстремумы, приравняем производную к нулю: \[ 1 + \frac{1}{x^2} = 0 \] Это уравнение не имеет решений, так как \( \frac{1}{x^2} \) всегда положительно. Следовательно, у функции нет максимумов или минимумов. 3. **Анализ асимптот**: Когда \( x \) стремится к 0, функция \( -\frac{1}{x} \) стремится к бесконечности (в зависимости от того, приближаемся ли мы к нулю слева или справа). Это приводит к вертикальной асимптоте в точке \( x = 0 \). 4. **Пределы функции**: - Когда \( x \to +\infty \): \[ y \approx x - 0 = x \to +\infty \] - Когда \( x \to -\infty \): \[ y \approx x + 0 = x \to -\infty \] ### Шаг 3: Построение графика функции Далее, мы можем построить график функции, учитывая информацию, собранную в предыдущих шагах: - Функция имеет вертикальную асимптоту в \( x = 0 \). - Она стремится к бесконечности при \( x \to +\infty \) и к минус бесконечности при \( x \to -\infty \). ### Шаг 4: Пример значений Можно подставить несколько значений \( x \) и вычислить соответствующие значения \( y \): - \( x = 1 \): \( y = 1 - 1 = 0 \) - \( x = 2 \): \( y = 2 - \frac{1}{2} = 1.5 \) - \( x = -1 \): \( y = -1 + 1 = 0 \) - \( x = -2 \): \( y = -2 + 0.5 = -1.5 \) ### Заключение Функция \( y = x - \frac{1}{x} \) является возрастающей, не имеет экстремумов, имеет вертикальную асимптоту в \( x = 0 \) и стремится к бесконечности, когда \( x \) уходит в положительное или отрицательное бесконечное значение. Строя график, вы сможете увидеть, как она выглядит и превращает значения \( x \) в \( y \).