y = x - 1/x
Рассмотрим функцию \( y = x - \frac{1}{x} \). Давайте проанализируем её шаг за шагом.
Шаг 1: Определение функции
Эта функция состоит из двух частей:
- Линейная часть: \( x \)
- Обратная часть: \( -\frac{1}{x} \)
Функция определена для всех \( x \), кроме \( x = 0 \), так как в этом случае происходит деление на ноль.
Шаг 2: Исследование функции
Нахождение производной: Для понимания поведения функции, найдем её производную.
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( x - \frac{1}{x} \right) \] Используем правило дифференцирования: \[ y' = 1 + \frac{1}{x^2} \]
Производная \( y' \) всегда положительна для \( x > 0 \) и \( x < 0 \) (кроме точки 0). Это значит, что функция монотонно возрастает во всех областях, где она определена.
Нахождение экстремумов: Чтобы найти, есть ли у функции экстремумы, приравняем производную к нулю:
\[ 1 + \frac{1}{x^2} = 0 \] Это уравнение не имеет решений, так как \( \frac{1}{x^2} \) всегда положительно. Следовательно, у функции нет максимумов или минимумов.
Анализ асимптот: Когда \( x \) стремится к 0, функция \( -\frac{1}{x} \) стремится к бесконечности (в зависимости от того, приближаемся ли мы к нулю слева или справа). Это приводит к вертикальной асимптоте в точке \( x = 0 \).
Пределы функции:
- Когда \( x \to +\infty \): \[ y \approx x - 0 = x \to +\infty \]
- Когда \( x \to -\infty \): \[ y \approx x + 0 = x \to -\infty \]
Шаг 3: Построение графика функции
Далее, мы можем построить график функции, учитывая информацию, собранную в предыдущих шагах:
- Функция имеет вертикальную асимптоту в \( x = 0 \).
- Она стремится к бесконечности при \( x \to +\infty \) и к минус бесконечности при \( x \to -\infty \).
Шаг 4: Пример значений
Можно подставить несколько значений \( x \) и вычислить соответствующие значения \( y \):
- \( x = 1 \): \( y = 1 - 1 = 0 \)
- \( x = 2 \): \( y = 2 - \frac{1}{2} = 1.5 \)
- \( x = -1 \): \( y = -1 + 1 = 0 \)
- \( x = -2 \): \( y = -2 + 0.5 = -1.5 \)
Заключение
Функция \( y = x - \frac{1}{x} \) является возрастающей, не имеет экстремумов, имеет вертикальную асимптоту в \( x = 0 \) и стремится к бесконечности, когда \( x \) уходит в положительное или отрицательное бесконечное значение. Строя график, вы сможете увидеть, как она выглядит и превращает значения \( x \) в \( y \).
