Для решения данной задачи нам нужно определить скорость течения реки, используя данные о скорости лодки и времени в пути.
Дано:
- Расстояние в одну сторону: (112 , \text{км})
- Скорость лодки в неподвижной воде: (11 , \text{км/ч})
- Разница во времени на движение против течения и по течению: (6 , \text{ч} )
Обозначим:
- (v) – скорость течения реки (км/ч).
- (v_{\text{лодки}} = 11 , \text{км/ч}) – скорость лодки в неподвижной воде.
- ( t_1 ) – время в пути против течения (часы).
- ( t_2 ) – время в пути по течению (часы).
Запишем формулы для времени в пути:
Когда почтальон плывет против течения:
[
t_1 = \frac{112}{11 - v}
]
Когда почтальон плывет по течению:
[
t_2 = \frac{112}{11 + v}
]
Условие задачи:
На обратный путь (по течению) у него ушло на 6 часов меньше времени, чем на путь против течения:
[
t_1 = t_2 + 6
]
Подставим выражения для (t_1) и (t_2):
[
\frac{112}{11 - v} = \frac{112}{11 + v} + 6
]
Умножим обе стороны на ( (11 - v)(11 + v) ), чтобы избавиться от дробей:
[
112(11 + v) = 112(11 - v) + 6(11 - v)(11 + v)
]
Раскроем скобки:
Левую часть:
[
112 \cdot 11 + 112v
]
Правую часть:
[
112 \cdot 11 - 112v + 6(121 - v^2)
]
(где ( 121 ) — это ( 11^2 ))
Получаем уравнение:
[
112 \times 11 + 112v = 112 \times 11 - 112v + 726 - 6v^2
]
Упростим уравнение:
Переносим все в одну сторону:
[
112v + 112v + 6v^2 - 726 = 0
]
Переписываем:
[
6v^2 + 224v - 726 = 0
]
Делим уравнение на 6 для упрощения:
[
v^2 + \frac{224}{6}v - 121 = 0
]
[
v^2 + 37.33v - 121 = 0
]
Находим корни квадратного уравнения:
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (37.33)^2 - 4(1)(-121)
]
Высчитываем:
- (D = 1392.6889 + 484 = 1876.6889)
- (\sqrt{D} \approx 43.3)
Находим (v):
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-37.33 \pm 43.3}{2}
]
Вычисляя, получаем два значения для скорости течения:
- (v_1 = \frac{5.97}{2} \approx 2.985 , \text{км/ч}) (положительное решение)
- (v_2 = \frac{-80.63}{2} \approx -40.315) (отрицательное, не подходит)
Ответ:
Скорость течения реки составляет примерно (2.99 , \text{км/ч}).
Это и есть конечный результат. Если необходимо, мы можем ещё раз пройтись по шагам и уточнить детали!
