Сколько элементарных событий с 7 успехами возможно в серии из 10 испытаний Бернулли

Задача относится к теории вероятностей и рассматривает испытания Бернулли, которые представляют собой эксперименты с двумя возможными результатами (например, успех и неудача). Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать формулу для вычисления количества элементарных событий при известных успехах.

Шаг 1: Определение условий задачи

У нас есть 10 испытаний и 7 успехов. Если обозначить успех обозначением "U", а неудачу "N", мы хотим узнать количество различных способов, которыми можно получить 7 успехов в 10 испытаниях.

Шаг 2: Использование сочетаний

Количество способов, которыми можно выбрать 7 успехов из 10 испытаний, вычисляется с помощью формулы сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 10),
• \( k \) — количество успехов (в нашем случае 7),
• \( ! \) — факториал числа.

Шаг 3: Подставляем значения

В данном случае \( n = 10 \) и \( k = 7 \):

\[ C(10, 7) = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!} \]

Шаг 4: Вычисление факториалов

Теперь нам нужно вычислить \( 10!, 7! \) и \( 3! \):

• \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7! \) (обратите внимание, что \( 7! \) сокращается)
• \( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

Теперь подставим это в формулу:

\[ C(10, 7) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} \]

Шаг 5: Упрощение

Теперь упростим:

• \( 10 \times 9 = 90 \)
• \( 90 \times 8 = 720 \)
• Делим на 6: \( \frac{720}{6} = 120 \)

Ответ

Таким образом, количество элементарных событий с 7 успехами в серии из 10 испытаний Бернулли составляет 120.