Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии если с ₁ = 3, с ₂ = 7.

Чтобы найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, давайте сначала определим несколько важных характеристик этой прогрессии.

Шаг 1: Определим первый член и разность прогрессии.

Из условия задачи:

• \( a_1 = 3 \) (первый член)
• \( a_2 = 7 \) (второй член)

Теперь найдем разность прогрессии \( d \): \[ d = a_2 - a_1 = 7 - 3 = 4 \]

Шаг 2: Запишем формулу для n-го члена арифметической прогрессии.

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \] где \( a_n \) — n-й член прогрессии, \( a_1 \) — первый член, \( d \) — разность прогрессии.

Шаг 3: Найдем сумму первых n членов арифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Здесь:

• \( n = 12 \) (число членов, которые мы хотим сложить),
• \( a_1 = 3 \) (первый член),
• \( a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = 3 + (12 - 1) \cdot 4 \).

Шаг 4: Найдем \( a_{12} \).

Вычислим \( a_{12} \): \[ a_{12} = 3 + (12 - 1) \cdot 4 = 3 + 11 \cdot 4 = 3 + 44 = 47 \]

Шаг 5: Подставим значения в формулу для суммы.

Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу для суммы: \[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (3 + 47) = 6 \cdot 50 = 300 \]

Ответ: Сумма первых двенадцати членов арифметической прогрессии равна 300.