Чтобы найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, давайте сначала определим несколько важных характеристик этой прогрессии.
Шаг 1: Определим первый член и разность прогрессии.
Из условия задачи:
- ( a_1 = 3 ) (первый член)
- ( a_2 = 7 ) (второй член)
Теперь найдем разность прогрессии ( d ):
[
d = a_2 - a_1 = 7 - 3 = 4
]
Шаг 2: Запишем формулу для n-го члена арифметической прогрессии.
Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула:
[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
]
где ( a_n ) — n-й член прогрессии, ( a_1 ) — первый член, ( d ) — разность прогрессии.
Шаг 3: Найдем сумму первых n членов арифметической прогрессии.
Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
]
Здесь:
- ( n = 12 ) (число членов, которые мы хотим сложить),
- ( a_1 = 3 ) (первый член),
- ( a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = 3 + (12 - 1) \cdot 4 ).
Шаг 4: Найдем ( a_{12} ).
Вычислим ( a_{12} ):
[
a_{12} = 3 + (12 - 1) \cdot 4 = 3 + 11 \cdot 4 = 3 + 44 = 47
]
Шаг 5: Подставим значения в формулу для суммы.
Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу для суммы:
[
S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (3 + 47) = 6 \cdot 50 = 300
]
Ответ:
Сумма первых двенадцати членов арифметической прогрессии равна 300.
