Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 27; -9; 3; ...

Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, давайте сначала определим ключевые параметры этой прогрессии.

Шаг 1: Определение параметров прогрессии

В данной прогрессии первые несколько члены:

• \( a_1 = 27 \)
• \( a_2 = -9 \)
• \( a_3 = 3 \)

1.1. Находим первый член (a)

Первый член прогрессии:

• \( a = 27 \)

1.2. Находим знаменатель прогрессии (q)

Чтобы найти знаменатель \( q \), воспользуемся формулой для второго члена геометрической прогрессии: \[ a_2 = a \cdot q \] Подставляя известные значения: \[ -9 = 27 \cdot q \]

Теперь решим это уравнение для \( q \): \[ q = \frac{-9}{27} = -\frac{1}{3} \]

Шаг 2: Условия сходимости

Для того чтобы бесконечная геометрическая прогрессия имела сумму, необходимо, чтобы модуль \( q \) был меньше 1: \[ |q| < 1 \] В нашем случае: \[ |-1/3| = \frac{1}{3} < 1 \] Условие выполняется, следовательно, прогрессия сходится.

Шаг 3: Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии

Сумма бесконечной геометрической прогрессии определяется по формуле: \[ S = \frac{a}{1 - q} \] где:

• \( S \) — сумма прогрессии,
• \( a \) — первый член,
• \( q \) — знаменатель прогрессии.

Шаг 4: Подстановка значений в формулу

Подставим в формулу значения \( a = 27 \) и \( q = -\frac{1}{3} \): \[ S = \frac{27}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{27}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{4}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{4} = \frac{81}{4} = 20.25 \]

Ответ

Сумма бесконечной геометрической прогрессии \( 27; -9; 3; ... \) равна \( 20.25 \).