Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, давайте сначала определим ключевые параметры этой прогрессии.
Шаг 1: Определение параметров прогрессии
В данной прогрессии первые несколько члены:
- ( a_1 = 27 )
- ( a_2 = -9 )
- ( a_3 = 3 )
1.1. Находим первый член (a)
Первый член прогрессии:
1.2. Находим знаменатель прогрессии (q)
Чтобы найти знаменатель ( q ), воспользуемся формулой для второго члена геометрической прогрессии:
[
a_2 = a \cdot q
]
Подставляя известные значения:
[
-9 = 27 \cdot q
]
Теперь решим это уравнение для ( q ):
[
q = \frac{-9}{27} = -\frac{1}{3}
]
Шаг 2: Условия сходимости
Для того чтобы бесконечная геометрическая прогрессия имела сумму, необходимо, чтобы модуль ( q ) был меньше 1:
[
|q| < 1
]
В нашем случае:
[
|-1/3| = \frac{1}{3} < 1
]
Условие выполняется, следовательно, прогрессия сходится.
Шаг 3: Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии
Сумма бесконечной геометрической прогрессии определяется по формуле:
[
S = \frac{a}{1 - q}
]
где:
- ( S ) — сумма прогрессии,
- ( a ) — первый член,
- ( q ) — знаменатель прогрессии.
Шаг 4: Подстановка значений в формулу
Подставим в формулу значения ( a = 27 ) и ( q = -\frac{1}{3} ):
[
S = \frac{27}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{27}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{27}{\frac{4}{3}} = 27 \cdot \frac{3}{4} = \frac{81}{4} = 20.25
]
Ответ
Сумма бесконечной геометрической прогрессии ( 27; -9; 3; ... ) равна ( 20.25 ).
