Турист, проплыв по течению реки на плоту 12 км, обратно возвратился на лодке, скорость которой в стоячей воде равна 5 км/ч, затратив на все путешествие 10 ч. Найдите скорость…

Для решения задачи начнем с определения всех значений и необходимых формул.

Обозначим:

• \( v \) — скорость течения реки (км/ч).
• \( v_{\text{лодка}} = 5 \) км/ч — скорость лодки в стоячей воде.
• Расстояние в одну сторону (по течению) равно 12 км.

1. Определим скорости:

• Скорость плота по течению (вниз по реке): \( v + v_{\text{лодка}} = v + 5 \) км/ч.
• Скорость лодки против течения (вверх по реке): \( v_{\text{лодка}} - v = 5 - v \) км/ч.

2. Найдем время каждого отрезка пути:

• Время, затраченное на путь вниз по реке: \[ t_1 = \frac{12}{v + 5} \]
• Время, затраченное на путь вверх по реке: \[ t_2 = \frac{12}{5 - v} \]

3. Условие задачи: Согласно условию, общее время путешествия составляет 10 часов: \[ t_1 + t_2 = 10 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{12}{v + 5} + \frac{12}{5 - v} = 10 \]

4. Упростим уравнение: Умножим обе стороны уравнения на \( (v + 5)(5 - v) \) для избавления от дробей: \[ 12(5 - v) + 12(v + 5) = 10(v + 5)(5 - v) \] Раскроем скобки: \[ 60 - 12v + 12v + 60 = 10(25 - v^2) \] Упрощаем: \[ 120 = 250 - 10v^2 \] Переносим все в одну сторону: \[ 10v^2 - 10 = 0 \] Делим на 10: \[ v^2 - 1 = 0 \]

5. Решаем полученное уравнение: \[ v^2 = 1 \implies v = 1 \text{ или } v = -1 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем: \[ v = 1 \text{ км/ч} \]

Ответ: Скорость течения реки составляет 1 км/ч.