Найдите косинус угла между векторами (а+б) и (а-б),если вектор а(7;-1) и вектор б(5;5)
Для нахождения косинуса угла между двумя векторами \( \vec{u} = \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{v} = \vec{a} - \vec{b} \) нужно воспользоваться формулой:
\[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]
Где \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) — это скалярное произведение векторов, а \( |\vec{u}| \) и \( |\vec{v}| \) — длины векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \).
Найдем векторы \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \):
\(\vec{a} = (7, -1)\)
\(\vec{b} = (5, 5)\)
\[ \vec{u} = \vec{a} + \vec{b} = (7 + 5, -1 + 5) = (12, 4) \]
\[ \vec{v} = \vec{a} - \vec{b} = (7 - 5, -1 - 5) = (2, -6) \]
Найдем скалярное произведение \( \vec{u} \cdot \vec{v} \):
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 12 \cdot 2 + 4 \cdot (-6) = 24 - 24 = 0 \]
Найдем длины \( |\vec{u}| \) и \( |\vec{v}| \):
\[ |\vec{u}| = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10} \]
\[ |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]
Вставим все значения в формулу для косинуса:
\[ \cos \theta = \frac{0}{|\vec{u}| |\vec{v}|} = \frac{0}{(4\sqrt{10})(2\sqrt{10})} = 0 \]
Поскольку косинус угла равен 0, это означает, что векторы \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) перпендикулярны друг другу.
Таким образом, косинус угла между векторами \( \vec{a} + \vec{b} \) и \( \vec{a} - \vec{b} \) равен \( 0 \).
