В треугольнике A B C ABC стороны A B AB и A C AC равны. На стороне A C AC взяли точки X X и Y Y так, что точка X X лежит между точками A A и Y Y и A X = B X = B Y AX=BX=BY . Найди…

Чтобы решить задачу, сначала уловим ее условия. Нам дан треугольник \( ABC \), где стороны \( AB \) и \( AC \) равны. Это значит, что \( ABC \) является равнобедренным треугольником с основанием \( BC \).

1. Условия задачи:

   • У нас есть точки \( X \) и \( Y \) на стороне \( AC \), где \( AX = BX = BY \).
   • Угол \( \angle BYC = 96^\circ \).
   • Необходимо найти угол \( \angle CBY \).

2. Определяем углы треугольника:

   • Так как \( AB = AC \), то углы при основании равнобедренного треугольника равны.
   • Обозначим угол \( \angle ACB = \alpha \). Тогда угол \( \angle CAB = \alpha \).

Теперь, так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \):

\[ \alpha + \alpha + \angle ABC = 180^\circ \Rightarrow 2\alpha + \angle ABC = 180^\circ \]

Означает, что:

\[ \angle ABC = 180^\circ - 2\alpha \]

3. Рассмотрим треугольник \( BYC \):

• У нас есть угол \( \angle BYC = 96^\circ \).
• Обозначим угол \( \angle CBY = x \). Тогда угол \( \angle CBY + \angle BYC + \angle YBC = 180^\circ \).

Мы знаем:

\[ x + 96^\circ + \angle YBC = 180^\circ \]

4. Обозначаем угол \( \angle YBC \):

• Заметим, что \( Y \) и \( X \) делят сторону \( AC \) на равные длины от \( A \) до \( X \) и от \( B \) до \( Y \). Поскольку мы знаем, что \( AX = BX \) и \( BY = BX \), это также означает, что: \[ \angle YBC = \angle ABC = 180^\circ - 2\alpha \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ x + 96^\circ + (180^\circ - 2\alpha) = 180^\circ \]

5. Выразим \( x \): Приведем подобные члены:

\[ x + 96^\circ + 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ \]

Упростим:

\[ x + 96^\circ = 2\alpha \]

Отсюда:

\[ x = 2\alpha - 96^\circ \]

6. Находим угол \( x \) (то есть \( \angle CBY \)):

• Мы также знаем, что сумма углов в треугольнике \( ABC \):

\[ \angle ABC + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ \]

• Определяем, что \( \alpha + (180^\circ - 2\alpha) + \alpha = 180^\circ \), и, следовательно, можем выразить \( \alpha \):

В треугольнике \( BYC \), если \( BYC = 96^\circ \), а также \( \angle CBY = x \), то находим его как

\[ x = 180^\circ - 96^\circ - \angle YBC \]

Отсюда угол \( \angle CBY \) будет равен:

\[ x = 180^\circ - 96^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 2\alpha - 96^\circ \]

7. Наконец, используя данное значение \( \angle BYC = 96^\circ\), мы можемети определить окончательно угол \( CBY \).

• В итоге, доступное соотношение указывает, что:

\[ \angle CBY = 96^\circ \]

Ответ:

\[ \angle CBY = 48^\circ \]