разложи на множители 49t^2-126t+81

Чтобы разложить квадратный трёхчлен \(49t^2 - 126t + 81\) на множители, воспользуемся методом нахождения корней уравнения или формулой разложения.

1. Запишем общее уравнение:
   \(49t^2 - 126t + 81 = 0\).

2. Подберем коэффициенты:
   У нас есть:

   • \(a = 49\) (коэффициент при \(t^2\)),
   • \(b = -126\) (коэффициент при \(t\)),
   • \(c = 81\) (свободный член).

3. Проверим дискриминант (D):
   Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac. \] Подставим значения: \[ D = (-126)^2 - 4 \cdot 49 \cdot 81. \] Считаем по шагам:

   • \( (-126)^2 = 15876\),
   • \(4 \cdot 49 \cdot 81 = 15876\).

   Итак, получаем: \[ D = 15876 - 15876 = 0. \] Поскольку дискриминант равен нулю, это значит, что у нашего уравнения есть один двойной корень.

4. Найдем корень уравнения:
   Корень можно найти по формуле: \[ t = \frac{-b}{2a}. \] Подставим наши значения: \[ t = \frac{126}{2 \cdot 49} = \frac{126}{98} = \frac{63}{49} = \frac{9}{7}. \]

5. Разложим многочлен:
   Узнав, что корень \(t = \frac{9}{7}\) - двойной, мы можем записать многочлен в виде: \[ 49 \left(t - \frac{9}{7}\right)^2. \]

   Преобразуем этот множитель, чтобы избавиться от дроби: \[ 49 \left(t - \frac{9}{7}\right)^2 = 49 \cdot \left(\frac{7t - 9}{7}\right)^2 = \frac{49(7t - 9)^2}{49} = (7t - 9)^2. \]

Итак, окончательный ответ: \[ 49t^2 - 126t + 81 = (7t - 9)^2. \]

Таким образом, мы разложили многочлен \(49t^2 - 126t + 81\) на множители и получили ответ в виде квадрата многочлена: \((7t - 9)^2\).