Разложи на множители 49t^2-126t+81

Чтобы разложить квадратный трёхчлен \(49t^2 - 126t + 81\) на множители, воспользуемся методом нахождения корней уравнения или формулой разложения. 1. **Запишем общее уравнение**: \(49t^2 - 126t + 81 = 0\). 2. **Подберем коэффициенты**: У нас есть: - \(a = 49\) (коэффициент при \(t^2\)), - \(b = -126\) (коэффициент при \(t\)), - \(c = 81\) (свободный член). 3. **Проверим дискриминант (D)**: Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac. \] Подставим значения: \[ D = (-126)^2 - 4 \cdot 49 \cdot 81. \] Считаем по шагам: - \( (-126)^2 = 15876\), - \(4 \cdot 49 \cdot 81 = 15876\). Итак, получаем: \[ D = 15876 - 15876 = 0. \] Поскольку дискриминант равен нулю, это значит, что у нашего уравнения есть один двойной корень. 4. **Найдем корень уравнения**: Корень можно найти по формуле: \[ t = \frac{-b}{2a}. \] Подставим наши значения: \[ t = \frac{126}{2 \cdot 49} = \frac{126}{98} = \frac{63}{49} = \frac{9}{7}. \] 5. **Разложим многочлен**: Узнав, что корень \(t = \frac{9}{7}\) - двойной, мы можем записать многочлен в виде: \[ 49 \left(t - \frac{9}{7}\right)^2. \] Преобразуем этот множитель, чтобы избавиться от дроби: \[ 49 \left(t - \frac{9}{7}\right)^2 = 49 \cdot \left(\frac{7t - 9}{7}\right)^2 = \frac{49(7t - 9)^2}{49} = (7t - 9)^2. \] Итак, окончательный ответ: \[ 49t^2 - 126t + 81 = (7t - 9)^2. \] Таким образом, мы разложили многочлен \(49t^2 - 126t + 81\) на множители и получили ответ в виде квадрата многочлена: \((7t - 9)^2\).