Чтобы найти количество вершин в полном графе с заданным количеством рёбер, воспользуемся формулой для числа рёбер ( E ) в полном графе на ( n ) вершинах:
[
E = \frac{n(n-1)}{2}
]
где ( E ) — количество рёбер, а ( n ) — количество вершин.
В данной задаче нам дано, что ( E = 136 ). Подставим это значение в формулу:
[
136 = \frac{n(n-1)}{2}
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
272 = n(n-1)
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
[
n(n-1) - 272 = 0
]
Рассмотрим данное уравнение. Оно можно записать в стандартной форме:
[
n^2 - n - 272 = 0
]
Для решения этого уравнения применим формулу нахождения корней квадратного уравнения:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -272 ). Подставим эти значения в формулу:
- Считаем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-272) = 1 + 1088 = 1089
]
- Теперь найдём корни:
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{1089}}{2}
]
Находим корень из 1089:
[
\sqrt{1089} = 33
]
Теперь подставим в формулу:
[
n = \frac{1 \pm 33}{2}
]
Рассмотрим два случая:
- ( n = \frac{1 + 33}{2} = \frac{34}{2} = 17 )
- ( n = \frac{1 - 33}{2} = \frac{-32}{2} = -16 ) (отрицательное значение не подходит)
Таким образом, количество вершин ( n = 17 ).
Итак, в полном графе с 136 рёбрами содержится 17 вершин.
