Построй график функции {2x^2−3x−2,x⩾0 {3x+1,x<0 Определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой…
Построй график функции {2x^2−3x−2,x⩾0 {3x+1,x<0 Определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки. В ответ запиши полученное число и числовой промежуток без пробелов. Например: 6(-1;10)
Для решения данной задачи начнем с анализа функции, состоящей из двух частей. Функция задана кусочно:
- \( f(x) = 2x^2 - 3x - 2 \) для \( x \geq 0 \) (парабола)
- \( f(x) = 3x + 1 \) для \( x < 0 \) (прямая)
Шаг 1: Найдем пересечения прямой \( y = m \) с графиком функции \( f(x) \)
Для определения, при каких значениях \( m \) прямая пересекает график функции ровно в двух точках, рассмотрим каждую часть функции отдельно.
Часть 1: \( x \geq 0 \)
Рассмотрим первую функцию:
\[ 2x^2 - 3x - 2 = m \]
Это квадратное уравнение:
\[ 2x^2 - 3x - (m + 2) = 0 \]
Чтобы прямая имела два пересечения с графиком функции, уравнение должно иметь два различных корня. Это возможно, если дискриминант \( D > 0 \).
Формула для дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае:
- \( a = 2 \)
- \( b = -3 \)
- \( c = -(m + 2) \)
Таким образом, дискриминант будет равен:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-(m + 2)) \] \[ D = 9 + 8(m + 2) \] \[ D = 9 + 8m + 16 \] \[ D = 8m + 25 \]
Для получения двух различных решений:
\[ 8m + 25 > 0 \]
Решим это неравенство:
\[ 8m > -25 \implies m > -\frac{25}{8} \]
Часть 2: \( x < 0 \)
Для второй части функции:
\[ 3x + 1 = m \implies 3x = m - 1 \implies x = \frac{m - 1}{3} \]
Так как мы рассматриваем область \( x < 0 \), необходимо, чтобы:
\[ \frac{m - 1}{3} < 0 \]
В результате получаем:
\[ m - 1 < 0 \implies m < 1 \]
Шаг 2: Анализ совместного решения
Теперь объединяем условия для \( m \):
- \( m > -\frac{25}{8} \)
- \( m < 1 \)
Таким образом, совместное решение:
\[ -\frac{25}{8} < m < 1 \]
Ответ:
В числовом промежутке:
\[ -\frac{25}{8}1 \]
Таким образом, получаем:
\(-3.1251\)
Это и будет ответом.
