Маша отметила несколько точек на плоскости так, чтобы никакие 3 из них не лежат на одной прямой. И соединила каждые 2 точки отрезком. Могло ли количество отрезков , которые…

Чтобы решить задачу, нам нужно выяснить, сколько отрезков можно провести между n точками на плоскости, при условии, что ни три из них не лежат на одной прямой. Это связано с комбинаторикой.

Количество отрезков, которые можно провести между n различными точками (при этом любые две точки соединяются отрезком) вычисляется по формуле:

\[ C(n, 2) = \frac{n(n - 1)}{2} \]

где \( C(n, 2) \) — это число сочетаний из n по 2 (то есть, количество способов выбрать 2 точки из n).

Теперь, если количество отрезков равно 66, мы можем установить уравнение:

\[ \frac{n(n - 1)}{2} = 66 \]

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ n(n - 1) = 132 \]

Теперь мы можем решить это уравнение. Перепишем его в стандартной форме:

\[ n^2 - n - 132 = 0 \]

Теперь используем формулу для решения квадратных уравнений:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Для нашего уравнения \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -132 \):

Сначала найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529 \]

Теперь извлечем квадратный корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{529} = 23 \]

Теперь подставим значение дискриминанта в формулу:

\[ n = \frac{1 \pm 23}{2} \]

Это дает два возможных значения для n:

1. \( n_1 = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12 \)
2. \( n_2 = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11 \) (это значение нам не подходит, так как количество точек n должно быть положительным).

Таким образом, единственное допустимое решение — это \( n = 12 \).

Ответ: Да, количество отрезков, которые нарисовала Маша, могло быть ровно 66, если было 12 точек.