В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB=AD. На ребрах AB и CD отметили точки к и м соответсвенно так, что AK:KB=1:3 , CM:MD=1:2. Постройте сечение…
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB=AD. На ребрах AB и CD отметили точки к и м соответсвенно так, что AK:KB=1:3 , CM:MD=1:2. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку K и перпендикулярной BM. В каком отношении секущая плоскость делит ребро B1C1
Чтобы решить задачу, рассмотрим заданный прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с условием, что AB = AD. Обозначим длину ребра AB как a. Тогда AB = AD = a, и BC = AD1 = h, где h – высота параллелепипеда, а BC = a.
Определим координаты точек:
- A(0, 0, 0)
- B(a, 0, 0)
- C(a, a, 0)
- D(0, a, 0)
- A1(0, 0, h)
- B1(a, 0, h)
- C1(a, a, h)
- D1(0, a, h)
Найдем координаты точек K и M:
- Так как \( AK:KB=1:3 \), то точка K делит отрезок AB в отношении 1:3. Координаты K можно найти следующим образом: \[ K = \left(\frac{1 \cdot a + 3 \cdot 0}{1 + 3}, 0, 0\right) = \left(\frac{a}{4}, 0, 0\right) \]
- Аналогично, точка M делит отрезок CD в отношении 1:2: \[ M = \left(0, \frac{1 \cdot a + 2 \cdot 0}{1 + 2}, 0\right) = \left(0, \frac{a}{3}, 0\right) \]
Определим вектор BM: Вектор BM можно найти как: \[ \overrightarrow{BM} = M - B = \left(0 - a, \frac{a}{3} - 0, 0 - 0\right) = \left(-a, \frac{a}{3}, 0\right) \]
Запишем уравнение секущей плоскости, проходящей через K и перпендикулярной BM: Вектор BM определяет нормаль плоскости. Нормаль вектора BM: \(\overrightarrow{N} = (-a, \frac{a}{3}, 0)\).
Уравнение плоскости, проходящей через точку K: \[ -a(x - \frac{a}{4}) + \frac{a}{3}(y - 0) + 0(z - 0) = 0 \]
Упростим это уравнение: \[ -ax + \frac{a}{3}y + \frac{a^2}{4} = 0 \implies -x + \frac{1}{3}y = \frac{a}{4} \] Умножим на -1: \[ x - \frac{1}{3}y = -\frac{a}{4} \]
Найдем точку пересечения с ребром B1C1: Ребро B1C1 имеет координаты:
- B1(a, 0, h)
- C1(a, a, h)
Уравнение этого ребра в параметрической форме: \[ R(t) = (a, t, h), \quad t \in [0, a] \]
Подставляя координаты из параметрической формы в уравнение плоскости: \[ a - \frac{1}{3}t = -\frac{a}{4} \implies a + \frac{a}{4} = \frac{1}{3}t \implies t = \frac{5a}{4} \cdot \frac{3}{1} = \frac{15}{4} \]
Так как \( t \) превышает a – это указывает на то, что секущая плоскость не пересекает отрезок B1C1 в пределах его длины. Это означает, что секущая плоскость не делит ребро B1C1.
Итак, секущая плоскость не делит ребро B1C1, и ответ таков, что секущая плоскость не пересекает ребро B1C1.
