Сфера с центром в точке О (2;1;-2) проходит через начало координат. Составьте уравнение сферы, в которую перейдет данная сфера при симметрии относительно оси абцисс. Найдите объем…

Для начала, давайте определим уравнение сферы, заданной центром в точке \( O(2; 1; -2) \) и проходящей через начало координат \( (0; 0; 0) \).

Шаг 1: Найдем радиус сферы

Радиус сферы равен расстоянию от центра \( O \) до начала координат. Мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками \( O(x_1, y_1, z_1) \) и \( A(x_2, y_2, z_2) \):

\[ r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

В нашем случае:

\[ r = \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 1)^2 + (0 + 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

Шаг 2: Уравнение сферы

Уравнение сферы имеет вид:

\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \]

Подставим значения центра и радиуса:

\[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 3^2 \]

Упрощая, мы получаем:

\[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 9 \]

Шаг 3: Применим симметрию относительно оси абсцисс

При симметрии относительно оси \( x \) координаты \( y \) и \( z \) меняют знак на противоположные. Таким образом, новая сфера будет иметь центр в точке \( O'(2; -1; 2) \).

Шаг 4: Уравнение новой сферы

Теперь запишем уравнение сферы с новым центром:

\[ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 9 \]

Шаг 5: Найдем объем шара, ограниченного полученной сферой

Формула для объема шара:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Где \( r = 3 \).

Подставим значение радиуса:

\[ V = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36 \pi \]

Ответ

1. Уравнение новой сферы: \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 9\).
2. Объем шара: \( 36\pi \).

Черчеж

К сожалению, я не могу создать чертеж прямо здесь, но вы можете представить следующее:

1. Сфера, заданная уравнением: центр в точке \( (2, 1, -2) \) и радиус 3.
2. Новая сфера после симметрии: центр в точке \( (2, -1, 2) \), также с радиусом 3.

Вы можете нарисовать координатную систему, отметив центры сфер и их радиусы для лучшего понимания.