Для начала, давайте определим уравнение сферы, заданной центром в точке ( O(2; 1; -2) ) и проходящей через начало координат ( (0; 0; 0) ).
Шаг 1: Найдем радиус сферы
Радиус сферы равен расстоянию от центра ( O ) до начала координат. Мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками ( O(x_1, y_1, z_1) ) и ( A(x_2, y_2, z_2) ):
[
r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
]
В нашем случае:
[
r = \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 1)^2 + (0 + 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3
]
Шаг 2: Уравнение сферы
Уравнение сферы имеет вид:
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2
]
Подставим значения центра и радиуса:
[
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 3^2
]
Упрощая, мы получаем:
[
(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 9
]
Шаг 3: Применим симметрию относительно оси абсцисс
При симметрии относительно оси ( x ) координаты ( y ) и ( z ) меняют знак на противоположные. Таким образом, новая сфера будет иметь центр в точке ( O'(2; -1; 2) ).
Шаг 4: Уравнение новой сферы
Теперь запишем уравнение сферы с новым центром:
[
(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 9
]
Шаг 5: Найдем объем шара, ограниченного полученной сферой
Формула для объема шара:
[
V = \frac{4}{3} \pi r^3
]
Где ( r = 3 ).
Подставим значение радиуса:
[
V = \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 27 = 36 \pi
]
Ответ
- Уравнение новой сферы: ((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 9).
- Объем шара: ( 36\pi ).
Черчеж
К сожалению, я не могу создать чертеж прямо здесь, но вы можете представить следующее:
- Сфера, заданная уравнением: центр в точке ( (2, 1, -2) ) и радиус 3.
- Новая сфера после симметрии: центр в точке ( (2, -1, 2) ), также с радиусом 3.
Вы можете нарисовать координатную систему, отметив центры сфер и их радиусы для лучшего понимания.
