Найди боковую сторону MNMN трапеции MNKP, если углы MNK и NKP равны соответственно 30∘и 135∘, а KP=20. В ответе укажи длину боковой стороны, делённую на √2 ​.

Давайте разберем задачу о нахождении боковой стороны трапеции. Мы имеем трапецию MNKP, где MN || KP. Углы MNK и NKP равны соответственно 30° и 135°.

Шаг 1: Анализ углов и сторон

1. У нас есть трапеция MNKP, где MN и KP являются параллельными сторонами.
2. Угол MNK = 30°.
3. Угол NKP = 135°.

Шаг 2: Построение треугольников

Если мы опустим перпендикуляр из точки K на линию MN и обозначим точку падения перпендикуляра как H, то у нас получится два прямоугольных треугольника: треугольник MNK и треугольник NKP.

Шаг 3: Вычисление сторон

Так как мы знаем угол MNK, можем рассмотреть треугольник MNK:

• Сторона KN является высотой, которую мы можем выразить через высоту KH.
• Используя тригонометрию, мы можем найти KH и KN.

В треугольнике KNK:

• \(\sin(30°) = \frac{KH}{KN} \Rightarrow KH = KN \cdot \sin(30°)\)
• \(\sin(30°) = \frac{1}{2}\)

Таким образом, получаем: \[ KH = \frac{1}{2} KN \]

В треугольнике NKP:

Теперь, используя угол NKP и рассматривая сторону KP = 20:

• Угол NPK = 180° - 135° - 30° = 15°.
• Используя тоже тригонометрию, мы можем написать: \(\sin(15°) = \frac{KN}{KP}\)

Используя формулу для \(KP\): \[\sin(15°) = \frac{KN}{20}\]

Шаг 4: Решение уравнений

Теперь нам нужно найти значение свойства \(\sin(15°)\). По формуле: \[ \sin(15°) = \sin(45° - 30°) = \sin(45°)\cos(30°) - \cos(45°)\sin(30°) \] Это равняется: \[ \sin(15°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}- \sqrt{2}}{4} \]

Подставим это в уравнение: \[ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{KN}{20} \Rightarrow KN = 20 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \]

Шаг 5: Найдем значение боковой стороны

Таким образом, мы нашли боковую сторону KN: \[ KN = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \]

Шаг 6: Окончательный ответ

Чтобы представить ответ в искомом виде, разделим на \(\sqrt{2}\): \[ \frac{KN}{\sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = 5\cdot\left(\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} - 1\right) = 5(\sqrt{3} - 1) \]

Итак, окончательный ответ: \[ 5(\sqrt{3} - 1) \]